余事象の確率〜公式・記号、見分け方を分かりやすく解説！〜

どうも！受験数学のダイです。

今回は、確率分野において知っておくと便利なテクニックの１つ余事象を徹底解説します。

参考書や授業なんかでは、「とりあえず少なくともってキーワードが問題文にあったら余事象だよ」ってな感じでよく教わるんですが、結局のところ「余事象ってなんなの？」と質問されて、

すぐに「これだよ！」って説明できる人ってあんまりいないです。

しかも、「少なくとも」意外にも受験数学において絶対に見逃してはいけない余事象頻出パターンが他に２つありますが、みなさんは知っていますか？

今回の記事では、余事象の基本的な考え方、公式、そして受験数学における最頻出パターン３つを分かりやすく解説していきます！

余事象よじしょうってなんぞや？

余事象＝「ある事象の反対」実はそれだけ！

確率の用語って、同様に確からしいとか、根元事象とかやたらと難しい日本語使っててなかなか腹の底から理解するって難しいですよね。

でも、余事象って実はめちゃくちゃ単純明快なんです！

一言で言ってしまえば、「ある事象の反対」それだけなんです！

例えば、コインで考えてみよう。

コインを投げて「表」が出る。「表」の反対って…….. ?

「裏」だ！

そう！裏が出る。つまり、コインを投げて「表」が出るという事象の余事象は

「裏」が出るなんだ！だって、コインで裏と表しかないから、コインを投げて

「表」じゃなかったら「裏」しかないよね。

もう１つ分かりやすい例で言うと、サイコロを振って「偶数の目が出る」という事象。

余事象って偶数が出ない場合、その反対。「偶数」の反対は「奇数」だね。

つまり、「偶数の目が出る」という事象の余事象は「奇数の目が出る」なんです。

ある事象Aに対して、その事象Aが起こらない時、つまりその反対が余事象なんだ。

なるほど。サイコロって１〜６までの目しかなくて、偶数の２、４、６以外って言ったら、１、３、５の奇数グループしかないですね。

そうなんだ。これを数学的に表すとこんな感じ。

おお… 先生…. UとかAとかアルファベットがいっぱい…. 汗

大丈夫！意味はいたって単純だから！解説するね！

余事象関連キーワードと記号

余事象の記号は、バー（¯）といってこれを文字の上につけて、元の事象Aと区別するんだ。

余事象$\bar{A}$は、全事象Uから事象Aを引いた余った残り全部のこと。だから、余事象なんだ。

＊教科書、多くの参考書では、余事象を$\bar{A}$のように表現しますが、Aの右上に小文字のc (complementary:補足)をつけて、$A^c$のように表すこともあります。意味は同じです。

余事象には、このある事象Aというグループには入れないあまりものなんです！

だから、この漢字（余）の意味にも実は余事象の考え方が込められているんだよね。

余事象の公式と計算

余事象の計算では以下のような公式が成立します。

余事象は、ある事象のあまりもの、そのグループに属さない反対のものってことは大丈夫だね！

ってことは、さっきの図を使ってもう一度解説すると、

事象Aの確率を求めるには、全事象Uから、事象Aの余事象$\bar{A}$を引けばいいんだ。

つまり、上の図でイメージすると

事象Aと余事象$\bar{A}$の入っている全事象から、

緑の部分（余事象$\bar{A}$）を切り抜くと、白い円で書いてある【事象A】の部分が残るよね。

全体から、余ったものを引くと、その残りが事象Aっていうイメージなんだ。

そして、確率では全事象、つまり確率全体を１として考えることが大前提なんだ。

なんで確率全体は１なの？

なんで確率全体って１になるんですか？確率って物事の出やすさ、出にくさを数字で表したものですよね？１っていうよりかは、１０％とかの方がもっとしっくりきます。

そうなんだ。実は、この１っていうのが、１００％を意味する百分率なんだ。

確率では、絶対に起こる事象の確率は１になるというのが基本的な考え方なんだ。で、これは百分率の１００％が簡単に略された形です。

例えば、さっきのコイントスをするゲーム。

「表が出る」「裏が出る」それぞれの確率ってなんでしょう？

えっと… コイントスの場合、全事象が「表がでる」「裏がでる」の２通りしかないから.. $\frac{1}{2}$!!

そう、表が出る確率も裏が出る確率も$\frac{表 or 裏のどちらか一方}{全体（２通り）}$ = $\frac{1}{2}$だね！

では、今度はそれぞれの事象が起こる確率を足してみると…

$\frac{1}{2}$ (50%) + $\frac{1}{2}$  (50%) = 1 (100%)

やっぱり、１になる。つまり全体で１００％になる！

逆に、絶対に起こり得ないありえない事象の確率は０（０％）になるんだ。

例えば、コイントスをして、表と裏の両方が一度に出る確率とか、サイコロを投げて１０の目が出る確率、７.５の目が出る確率とか。完全にイカサマしたサイコロを作らない限りは、サイコロに10の目とか７.５なんて少数の目はないからね。

余事象のパターンはズバリ３つ！最強余事象キーワードを押さえよ

ここまで、余事象の基本的な考え方や公式を徹底的に紹介してきましたが、

次は試験問題ではどのように出題されて、どう攻略していくかです。

受験数学で、余事象の頻出パターンはズバリ！この３つです！

この３つのパターンを押さえたら、受験数学で余事象なんて怖くないです！むしろ味方になってくれます！それぞれ詳しく解説していきます！

パターン１：「少なくとも」〜典型サイコロ問題で解説〜

確率問題で問題文に「少なくとも」ときたら、間違いなく余事象が使えます！

ステップ1：２つのサイコロを番号をつけて区別！

本問題では、サイコロを２つ投げるゲームです。そして、それぞれのサイコロは１〜６までのそれぞれ数字がついている一般的なサイコロです。

そして、これらのサイコロは同様に確からしいと言えます。

例えば、１の目が出る確率も５の目が出る確率も全体６通りある中の１通りなので

$\frac{1}{6}$とそれぞれの場合は等確率になっています。

これら２つのサイコロを別々なものと区別するために、

最初のサイコロに、サイコロ１。２つ目のサイコロに、サイコロ２と番号をつけます。

＊サイコロA, Bなどアルファベットでも他の記号でも区別できればなんでもいいです。

ステップ２：余事象を考える

まずは、「少なくとも１つのサイコロの出目が偶数」の余事象を考えます。

さて、ここで余事象の意味を思い出してみましょう。余事象って…. ？

ある事象の反対、起こらない事象！

そう、コイントスだったら、「表が出る」の余事象は「裏が出る」だったね！

今回の場合、サイコロの偶数の目が出る事象（２、４、６）が出る事象をAとすると、

事象Aの反対、つまりサイコロを投げて偶数の目が出ない時って他になにが出るかな？

奇数の目です！

その通り！！サイコロは基本１〜６までのそれぞれの数字の出目しかないから、

２、４、６の偶数以外の目は、奇数の１、３、５の３つだね！

これをまとめると、

奇数の目は、（１、３、５）の３通り。そして、今回は２つのサイコロを同時に投げるので、

積の法則により、

ステップ３：全事象の数を求める

先ほど、区別した２つのサイコロ、サイコロ１、サイコロ２について考えていきます！

それぞれのサイコロの出目は１〜６の６通り。

今回は、サイコロを２つ同時に投げるので試行なので、

サイコロ１の全体×サイコロ２の全体＝全事象

６通り　×　６通り　＝　３６通り

２つのサイコロの場合、全部で３６通りあるので、ある事象の確率を求めるときは

$\frac{X}{36}$のような考え方になります。

なので、余事象$\bar{A}$は、「奇数の目が出る」は、$\frac{9}{36}$ 

ステップ４：確率全体（１）から、余事象を引く

確率全体は１（１００％）なので、

事象A 「偶数の目が出る」＝　１　ー　余事象$\bar{A}$「奇数の目が出る」

＝　１ ー $\frac{9}{36}$ = $\frac{27}{36}$ = $\frac{3}{4}$

よって、「偶数の目が出る」が出る確率は、$\frac{3}{4}$でこれが答えです！

実は今回の問題は余事象を使わずとも解けたります。

しかし、今回のように２個のサイコロを使う試行では、いくつかの場合分けがおこり、余事象を使わなければ計算の量が増えてしまいます。

例えば、2個のサイコロを投げるゲームでは以下のような３パターンがありました。

（偶数、奇数）、（偶数、偶数）、（奇数、奇数）

「少なくとも1回は偶数の目」なので、確率計算しないといけないのは

（偶数、奇数）、（偶数、偶数）の２つです。

しかし、余事象を使うと、（奇数、奇数）の１パターンだけを計算して、あとは確率全体（１）から引くだけで、「少なくとも1回は偶数の目」の確率ができるのです！

パターン２：「〜でない」をみたら余事象を疑え！

問題文に「〜でない」がある場合も、場合分けが複数あるので余事象が有効です。

袋の中から玉を１つ取り出す試行なので、取り出した玉のパターンは以下の３つです。

1. 赤玉
2. 白玉
3. 青玉

取り出した玉が、青玉でない確率なので、

1. 赤玉
2. 白玉

これら２種類の玉が出る確率をそれぞれ別で計算すれば、青玉が出ない場合の確率は求められますが、場合分けの計算はかなりめんどーなので、ここでも余事象の登場です！

「青玉がでない」の余事象を考えていきましょう。

「青玉がでない」の反対は……

青玉が出る！

そうなんです！つまり、今回の場合は、

確率全体（１）ー　青玉が出る確率　＝　青玉がでない確率　　

まず全体の確率は、赤玉３個、青玉４個、白玉５個の合計１２個の玉から１個の玉を取る試行

なので、12C1 = １２通りです。

そして、余事象の「青玉が出る」確率を求めます。青玉４個から１個を取るので、

4C1 = 4通りです。

そして、余事象の確率は、$\frac{青玉が出る数}{全体}$＝$\frac{4}{12}$

あとは、全体確率１から余事象の確率を引くだけなので、

青玉がでない確率　＝　１　ー　$\frac{4}{12}$　＝　$\frac{2}{3}$

パターン３：倍数の問題は余事象の出番！

２枚のカードの積が偶数

実は今回のような倍数問題でも、余事象はとてつもない力を発揮します。

まず、「２枚のカードの積が偶数」の条件を考えていきましょう。

そもそも２個の数字をかけ算したときに偶数になる時ってどんな時でしょう。

ううん…. ２をかけた時？よく分かりません。笑

いや、たかし君！すごくいいポイントだよ！０以外の何かに２をかけた時！もっと言うならば、２のような偶数×０以外の数字＝偶数になるんだ！

今回の１〜６までのカードの中に偶数のカードは２、４、６の３枚！

そこから２枚取るとき、その中の少なくとも１枚が偶数であれば積が偶数になります。

パターンとしては、

1. １枚目：偶数　×　２枚目：奇数
2. １枚目：偶数　×　２枚目：偶数

あっ！「少なくとも」が出てきた！！余事象の臭いがぷんぷんしますね！

次に、「少なくとも１枚は偶数カード」の余事象を考えます。ここで余事象の最強公式を使うと簡単に事象の余事象がわかるよ！

今回の場合、偶数カードが少なくとも１枚なので、余事象最強公式を使うと

余事象　＝　偶数カードが０枚以下

つまり、１〜６までのカードの中で偶数が０枚以下、偶数カードがいっさい使えないとなると

残りは奇数カードを引くしかないよね。

「少なくとも１枚は偶数」の余事象は、「引く２枚とも全て奇数カード」になるんだ！

余事象を使うので、さっきみたいに

1. １枚目：偶数　×　２枚目：奇数
2. １枚目：偶数　×　２枚目：偶数

上の２パターンの場合分け計算みたいなめんどくさいことはしないで、代わりに

全体確率１　ー　余事象「全て奇数カード」　＝　２枚のカードの積が偶数

の作戦でいけるよ！計算の手間がかなり省けるよ！

全体の通りは、６枚のカードから２枚を取り出す試行だから、6C2 = 15通り

そして、「引く２枚とも全て奇数」の場合の数は、

奇数カード１、３、５の３枚の中から、２枚を取ればいいから、3C2 = 3通り

だから、確率は、$\frac{２枚とも奇数}{全体の数}$ = $\frac{3}{15}$

あとは、これを全体確率から引くだけでいいから

１　ー　$\frac{3}{15}$　＝　$\frac{12}{15}$ = $\frac{4}{5}$

受験数学定番の倍数問題ではよく倍数の条件を考える上で、「少なくとも」が使われることが多く確率を求める際には、余事象での攻略が大変有効です。

倍数の条件を考える＝＞「少なくとも〜」＝＞余事象最強公式（n-1)で余事象を求めて計算

この流れが鉄則です。ぜひ押さえておきましょう！

余事象って本当に学ぶべきもの？

ここまで余事象を使って問題を解いてきましたが、

「なんで余事象を学ぶの？」

と思った読者の方もまだいると思います。

「別に正面突破で地味に図とか書いて計算しればいいじゃん？」

「別に場合分けすればいいだけの話じゃね？」

確かに、本記事でも解説したように、余事象を使わなくても問題は実際解けます。

しかし、はっきり言います。

受験数学において、いつでも正面突破するのは自殺行為です。

試験には時間制限があります。どんな難問も解けると自負しても、試験時間内に全てを解き終わることができなければ点数は取れません。

確率には、場合分けをするという独特な考え方があります。先ほどやった倍数問題でも、いくつかに場合わけをして、最後に合算して確率を求めました。問題が難しくなればなるほど、場合分けも数が増えて、計算量も計算する値も大きくなります。

途中で１つでもミスをしてしまうと、その問題が絶対に正解することができません。

そして、多くの確率を苦手としている人はそれを理解せずに、いつも正面突破で何も考えずに難しい計算をして、ミスをするのです。

問題よって解き方やアプローチ方法を自分なりに作っていく。そして、その過程でやたらと場合分けが多くて計算がめんどーと思ったら今日学んだ余事象を使ってみてください。

受験数学においては、いかに解答への近道を見つけるが大切です。少なくとも受験数学においては、難しい計算ができたからってかっこよくもなんともないです。思考停止になって、常に正面突破をするのではなく、いかに簡単に問題を解ける考えてアプローチを変えてみることが大切です。

今日紹介した余事象はその１つのテクニックです。

野球のピッチャーでもバッターになにも考えずにストレートばかり投げても打ち取れません。

相手バッターによって、投げる球種を変えたり、工夫することで初めて押さえることができます。

ぜひこの記事を読んだあなたはもう一度本記事で扱った問題をもう一度自分で解けるまで確認してみてください。

最後に：余事象のまとめ

いかがだったでしょうか？

今回はとてもボリュームが多くなってしまいましたが、受験数学のテクニックの１つ余事象を徹底的に解説しました。まとめとしては、

余事象のサインが出たら、とにかく計算を簡単にする方法を探して、計算の近道を見つけて確率問題を攻略しましょう！