どうも！文系受験数学のダイです！
積の法則とに違いってなに？
「同時に起こらない」のイメージができない…
本記事はこのような疑問に答えていきます！
和の法則って、腹の底から理解するのって難しいですよね。
でも、２つのポイントさえ押さえれば、和の法則は簡単に理解できますです！
- ２つ以上の事柄が同時に起こらない
- 足し算で場合の数を求める
それぞれのポイントを徹底的に噛み砕いて解説していきます！
目次
和の法則の２つのポイント
まずは、公式を確認！
事柄A, Bが同時に起こらない時、Aの起こり方が$m$通り、Bの起こり方が$n$通りとすると、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は$(m+n)$通り
これが教科書的な公式になります。
和の法則は、足し算で場合の数を求めることから加法定理とも呼ばれます。
加法は、足し算の別名です。
和の法則で知っておけばいいことは、２つしかありません。
- ２つ以上の事柄が同時に起こらない。
- 足し算で場合の数を求める
ポイント1: 同時に起こらない
「同時に起こらない」は、ある行為からどちらか１つの結果しか得られないことです。
場合の数・確率では、必ずある行為をします。
例えば、サイコロを投げたり、コイン・硬貨を投げたり。
そして、これらの行為の結果は何通りあるのか数えます。
サイコロを１回投げて、偶数の目が出る通りは{2}{4}{6}の3通りですよね。
同じく奇数が出る通りも{1}{3}{5}の3通りです。
では、サイコロを１回だけ投げます。
- 偶数の目が出る結果{2}{4}{6}
- 奇数の目が出る結果{1}{3}{5}
これら２つを同時に得られるでしょうか？
必ずどちらか一方ですよね。
2の目が出たら、①偶数の目の結果は得られますが、②奇数の目は得られません。
3の目が出たら、②奇数の目の結果は得られますが、①偶数の目は得られない。
必ずどちらか一方の結果で、両方が同時に発生しません。
これが同時に起きないの正体です。
どうしても、サイコロ1個で偶数の目と奇数の目の両方の結果が欲しい場合は、さらにサイコロを投げるという別の行為が発生します。
この場合、サイコロを投げる１回目と２回目には時間差が生じます。そのため、これらは同時に起こらない。
しかし、サイコロを連続で投げる場合は「同時に起こる」と考えます。
- 同時に起きない＝ある行為の結果どちらか１つしか得られない。
サイコロを１回投げても、偶数の目と奇数の目の両方は同時には出ない。
しかし、偶数または奇数のどちらか一方は出る。
ちなみに数学では、この「同時に起こらない」を別の専門用語を使って排反であるともいいます。
サイコロを１回振ると、偶数の目または奇数の目のどちらか一方の結果しか得られない。この時、「偶数の目」と「奇数の目」は、排反であると言えます。
ポイント2: 足し算で計算する
２つの事柄A, Bが同時に起こらない時、Aの起こる通りを$m$、Bの起こる通りを$n$とすると、AまたはBの起こる場合の数は、$m+n$通り。
物事が同時に起きないときは、足し算でその場合の数を求めます。
事柄A, Bが同時に起こらない時、Aの起こり方が$m$通り、Bの起こり方が$n$通りとすると、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は$(m+n)$通り
なんで足し算をするのかもっと分かりやすい例で考えてみよう！
イチゴが3個とみかんが7個あります。テーブルにある果物は全部でいくつでしょう？
簡単です！3+7=10個です！
大正解だけど、なんで足し算を使うの？
えっ… それはそう学校で教えられたので（笑）
実はこの足し算にも、同時性が隠れているんだ！
りんごとイチゴは全く違う果物です。
その色も違えば、味も違います。
- 「りんごであること」
- 「イチゴであること」
これら２つの条件は同時には存在しません。
そのため、イチゴとりんごの合計数は足し算するんです！
同時に起こらないから、足し算なのか！
では、以下の場合はどうでしょう？
イチゴが好きな人は3人、みかんが好きな人が7人います。イチゴだけが好きな人とみかんだけが好きな人は合わせて何人いるでしょう？
えっ、同じく10人ですよね？
実は、そうじゃないんだ！同時性を考えてみよう。
- 条件1: イチゴが好きな人
- 条件2: みかんが好きな人
今回の場合、これら２つの条件が同時に起こる可能性があります。
つまり、イチゴ好きとみかん好きの中には、イチゴもみかんも両方好きな人がいるかもしれない。
でも求める数は、イチゴだけ好きな人とみかんだけ好きな人の合計数。
イチゴとみかん両方好きな人は含まれていない。だから、これは単純に足し算できない。
これをイメージやすいようにベン図を使って見てみよう！
２つの物事の関係性を視覚化したものをベン図と言います。
こちらの関連記事から、ベン図の使い方や詳しい意味を確認できます。
このように、同時に起こる場合は、和の法則が使えません。
足し算をすると、イチゴとみかん両方が好きな人なまで数えることになります。
しかし、以下のような場合は和の法則が使えます。
- 条件1: イチゴが好きな人
- 条件2: みかんが好きな人
これら両方が同時に起きない場合、イチゴとみかん両方が好きな人を気にする必要がありません。
この時は、イチゴが好きな人とみかんが好きな人は合わせて１０人！
同時に起きない時の場合の数は、足し算する！
積の法則との違い
物事の同時性に着目して、和の法則か積の法則かの区別をします。
- ２つの結果が同時に起こらないなら、和の法則
- ２つの結果が同時に起こるなら、積の法則
先ほどのサイコロの例をもう一度考えて見ましょう。
行為: サイコロを１回投げる
結果: ①偶数が出る ②奇数が出る
１回のサイコロでは、偶数か奇数のどちらか一方しかでません。
そのため、この場合の偶数と奇数は同時に起こりません。
では、こちらの場合はどうでしょうか？
行為: ２つのサイコロを同時に投げる
結果: ①偶数が出る ②奇数が出る
これなら1個目のサイコロで偶数、2個目のサイコロで奇数で同時に起きるかもしれないですね！
２つのサイコロを投げる行為で、偶数と奇数の２つの結果を得ることができます！この場合、偶数と奇数は同時に起きます。
問題では、ある行為の２つ以上の結果に注目して判断しましょう！
- 同時に起こらない→和の法則で足し算。
- 同時に起こる→積の法則でかけ算。
積の法則の関連記事も読んで両方の法則をマスターしましょう！
問題文での和の法則の見分け方
実際の問題では、どうやって和の法則の問題かどうか区別するんですか？
もちろん物事の同時性を考えることが1番なんだけど、いくつかキーワードがあるんだ！
そういうの待ってました！教えてくださ〜い（笑）
- AまたはB
- AかB
- AとB
これらのキーワードが問題文にあれば、和の法則で解ける場合が多いんだ！
特に「または」には、「どちらか一方が起きる」のニュアンスがあります。
これは和の法則の考え方: 同時に起きないの意味に近いですよね！
和の法則のイメージが掴めてきたところで演習問題にいこう！
サイコロの問題を和の法則で解いてみた
大中小の３つのサイコロを同時に投げる時、目の和が５または12になる通りはいくつあるか。
「または」がある！和の法則使えるかも！
そうだね！同時性にもしっかり注目しておこう！
- 行為: ３つのサイコロを投げる
- 結果: ①目の和が5 ②目の和が12
これらの結果が同時に起こるか否かを考えます。
目の和5と12は、どちらか一方は起こることがあっても同時には起きません。
そのため、目の和が５の時と目の和が12の時の２つに場合分けをして考えます。
- ２つ以上の物事が同時に起きない時、別々に場合に分けて計算すること。
こちらの関連記事でさらに詳しく解説しています。
場合分け① 目の和が５
サイコロの目の和を考えるときは樹形図が役に立ちます！樹形図の書き方のコツに関してはこちらをご確認ください！
３つのサイコロの目の和が５になる樹形図は、以下の通りです。
全てのパターンを数えると、6通りあることが分かります。
大の目が４以上になると、３つのサイコロの総和が５を超えてしまいます。
だから、考えるパターンは大の目が1~3の時か！
場合分け② 目の和が12
この場合も樹形図を書いて求めましょう！
目の和が12の樹形図は以下の通りです。
全部数えると、25通りあるのが分かります。
和の法則でまとめる
最後に、場合分けしたものを足し算でまとめます。
- 目の和が5の通り＝6通り
- 目の和が12の通り= 25通り
目の和5または12 = 6 + 25 = 31通り
（解答終了）
場合分けは、同時に起こらないものを別々で計算する技。だから、場合分けをしたら足し算と覚えよう！
硬貨の問題を和の法則で解いてみた
裏表のあるコインを３回投げる時、２回以上表が出る通りはいくつあるか。
２回以上の意味を考えてみよう。
２回以上表が出るパターンは、
- 結果①ちょうど２回表が出る
- 結果②３回表が出る
これらの結果は同時に起きるでしょうか？
絶対に起きませんよね。なので、結果①と②の２つで場合分けをしましょう。
場合分け① ちょうど２回表が出る
今回も樹形図を使います！
「２回表が出る」の樹形図はこの通りです。
この中でちょうど２回表が出ているものに丸をつけます。
よって、２回表が出る通りは3通りです。
場合分け② 3回表が出る
３回表が出る場合の樹形図はこちらです。
３回表が出る場合は1通りです。
和の法則でまとめる
場合分けしたものを和の法則でまとめます。
- ちょうど2回表が出る＝3通り
- 3回表が出る= 1通り
和の法則より、
2回表または3回表が出る＝3 + 1 = 4通りです！
最後に: 和の法則まとめ
いかがだったでしょうか？
和の法則とは何か、そして積の法則との区別もできたと思います。
さらに、積の法則の関連記事も読んで２つの法則をマスターしましょう！
本日のまとめは以下の通りです。
- 和の法則: 同時に起こらない時、足し算する！
- 同時に起こらない: ある行為で、１つしか結果が得られないこと。
- 同時性と計算方法で、積の法則と区別する！
- 和の法則キーワード: 「または」「か」「と」
- 場合分けをしたら、和の法則(足し算)
和の法則ってなんなん？いつ使うの？！