どうも！受験数学のダイです！
和事象の記号の意味や使い方を知りたい!
問題の解き方や積事象との違いを知りたい！
和事象は、確率計算をする際の基礎です。
確率を求める時に、
「これって足し算だっけ？」
「これ積事象の公式で解くの？」
ってなったことありませんか？
このような基礎的な概念は、実は理解するのが1番難しいんです。
この記事を読んで、確率計算の公式や使い分けをマスターしよう！
目次
和事象とは？
コインで和事象を説明してみた
和事象のイメージは、「AかBのどちらか1つ」です。
例えば、裏表が出るコインを投げるゲーム。
コインを一枚投げる時、2つの結果(事象)が期待できます。
- 事象A: 表が出る
- 事象B: 裏が出る
これらの事象は、どちらか1つしか起きません。
確かに、コイン一枚では「表」か「裏」のどちらか一方の結果しか出ないですよね。
以下のような事象(結果)は、コイン一枚では無理ですよね。
このように、2つの事象のどちらか一方しか起きないことを和事象の確率というんだ！
どちらか一方しか起きない＝同時に起こらないとも言い換えられます！
- 事象AまたはBのどちらか一方しか起きないこと。
コイン一枚では、表か裏のどちらか一方の結果しか得られない。
和事象の記号「∪」
和事象は、記号「U」を使って簡単に表すことができます。
読み方は、「または」と読みます。
例えば、A∪Bは「AまたはB」と読むんだ！
「U」は「カップ」とも呼びます。しかし、「または」の方が一般的です。
この記号の意味は、「まとめる」です。
和事象の記号の使い方を具体的にみていこう！
例えば、サイコロを1回投げるゲーム。
以下の2つの事象(結果)が期待できます。
- 事象A: 偶数の目が出る＝{2,4,6}
- 事象B: 奇数の目が出る＝{1,3,5}
この時の和事象A∪Bを記号で表してみよう！
「U」＝「まとめる」なので、A∪B＝「事象Aと事象Bの要素(中身)をまとめる」と解釈できます！
- 事象A: ＝{2,4,6}
- 事象B: ＝{1,3,5}
なので、A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}となります。
なるほど！和事象の「和」って、2つを足して合わせるって意味なんですね！
そう！これが確率計算だと「まとめる」が「足す/足し算」になるよ！
- まとめる、足して合わせるを意味する。
例: A={1,2,3}, B= {4,5,6}
A∪B = {1,2,3,4,5,6}
和事象の公式と証明
- P(A∪B) = P(A) + P(B)
- P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
*P＝Probability: 確率
*A＝事象A, B＝事象B
和事象には2つの公式があります！使い方や使い分けを例題を使って解説するよ!
P(A∪B) = P(A) + P(B)
りんごが好きな人が20人、みかんが好きな人が20人いる。この時、りんごが好きな人またはみかんが好きな人の何人？
20+20= 40人！余裕ですよ(笑)
正解！実は、これが公式のP(A∪B) = P(A) + P(B) の考え方なんだ！
この問題のベン図も書いてさらに数学的に見ていこう！
この問題で、20+20=40(人)と足し算した理由。
それは、りんごとみかんの2つの集合(円)が
- それぞれ独立していて、
- 2つの集合間に共通項がないから!
このような場合は、単純に足し算をして数を求めます。
今回のりんご好きとみかんが好きには、りんごもみかんも両方好きな共通グループがいないですね。
そうなんだ！りんごだけが好き人とみかんだけが好きな人しかいないから、単純に足し算で40人と分かったんだ！
さらにこれを数学的に表してみよう!
- 集合A: りんご = 20人
- 集合B: みかん = 20人
$n(A∪B)$ = $n(A)$ + $n(B)$ = 20 + 20 = 40人
*$n$＝個数/人数を表します。
ここで完全に理解していなくても大丈夫! 次の公式2の説明で必ず理解できるよ!
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
先ほどの例題を少し変えて、公式2を見ていこう！
次のような時、りんごが好きな人またはみかんが好きな人は何人いるか？
- りんごが好きな人＝20人
- みかんが好きな人＝20人
- りんごもみかんも両方好き＝12人
なんかベン図が違う！A, Bの両方の円がくっついてる！
集合A, Bの間に、りんごもみかんも好きという共通のグループがいるね！
ここで、単純にりんご好き＋みかん好き＝40人とすると、りんごもみかんも両方好きな人まで含まれてしまいます。
でも、求める人数は「りんごだけが好きな人とみかんだけが好きな人の人数」
だから、この場合のA∪Bは、
✔︎りんごが好き＋みかんが好きーりんごとみかん両方好き
そうすれば、りんごだけが好きな人とみかんだけが好きな人の合計が出ますね！
A∪B＝ 20人(A)+20人(B)ー12人(A∩B)＝28人
ベン図を書いて共通項がある時は、重複分を引く！
- A, Bに共通項なし=P(A∪B)=P(A)+P(B)
- A, Bに共通項あり=P(A∪B)=P(A)+P(B)ーP(A∩B)
この2つの公式は、足し算をすることから加法定理とも呼ばれます。
排反(事象)との違い
2つ以上の事象が同時に起こらないことを排反または排反事象ともいいます。
事象が「同時に起こらない」という点は、和事象と同じです。
でも、和事象と排反は使い方が少し違うんだ！
- 排反事象: 事象が同時に起きるか否かの判断。
- 和事象: 事象が同時に起きない時に足し算をする確率計算。
なるほど！排反は「同時性」の判断で、和事象は計算(公式)ですね！
そうなんだ！基本的な考え方は2つとも同じだけどね！
積事象との違い・見分け方
和事象と積事象は、事象の「同時性」を使って簡単に区別できるよ!
- 2つの事象が同時に起きる＝積事象
- 2つの事象が同時に起きない＝和事象
事象の同時性で見分ける
サイコロを1個投げて、1の目または2の目が出る確率を求めよ。
- 事象A: 1の目が出る
- 事象B: 2の目が出る
ポイントは、事象A, Bが同時に起こる否かの判断！
サイコロ1個では、1の目もしくは2の目のどちらか一方しか出ないです。
正解！だから、この確率は足し算で求めるんだ！
- 事象A: 1の目が出る＝1通り
- 事象B: 2の目が出る＝1通り
確率＝$\frac{それぞれの数}{全体の数}$なので、
- 事象Aの確率P(A): $\frac{1}{6}$
- 事象Bの確率P(B): $\frac{1}{6}$
このように「同時に起こらない」事象を別々にを分けて計算することを、場合分けと言います。
場合分けをしたときは、必ず足し算をして確率を求めるんだ！暗記しておこう！
事象AとBの間に共通項がないので、公式1を使います。
✔︎公式1: P(A∪B)＝P(A)+P(B)
= $\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$
では、以下のような場合はどうでしょう？
大小2個のサイコロを投げて、大で1の目、小で2の目が出る確率を求めよ。
- 事象A: 1の目が出る
- 事象B: 2の目が出る
サイコロが2個に増えてます！
そうなんだ！この場合、事象A, Bも同時に起きるんだ！
例えば、大小のサイコロを投げて(大、小)＝(1, 2)が出ると、1の目と2の目が同時に出ます！
そのため、確率はかけ算で求めます!
- 事象Aの確率P(A): $\frac{1}{6}$
- 事象Bの確率P(B): $\frac{1}{6}$
P(A∩B)＝$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{6}$＝$\frac{1}{36}$
2つの事象が同時に起きる場合は、かけ算をしよう！
こちらの記事で、積事象の公式や解き方を詳しく解説しています！
- 和事象: 事象が同時に起こらない。場合分けをして足し算。
- 積事象: 事象が同時に起こる。かけ算で確率を求める。
問題文のキーワードで見分ける
足し算かかけ算で迷った時は、問題文のキーワードで区別する方法もあるよ！
- 和事象のキーワード
「AまたはB」「AもしくはB」「AかB」
「どちらか一方」のニュアンスあり！
- 積事象のキーワード
「AかつB」「AとB」
「どちらも両方」のニュアンスあり！
キーワードでの区別は100%ではない！「同時性」を考えて区別する方が確実です。
キーワードはおまけ程度に考えておこう！本質は「同時性」の判断！
和事象の入試問題にチャレンジ!
くじ引き問題
ある箱に、1~20までの数字が書かれたカードが１枚ずつ入っている。その箱から、１枚のカードを無作為に引くとき、カードに書かれた数字が4の倍数または7の倍数の確率を求めよ。
1~20までの数字に、4の倍数で7の倍数の数字はないですね！
4の倍数と7の倍数はどちらか一方は起きても、同時には起こらない。だから、和事象＝足し算だね！
同時に起こらないくじ引きの確率は、以下の２ステップで解こう！
- 全体の数(くじの数)を求める。
- 場合分けをしてそれぞれの数を求める。
- 和事象の公式で足し算！
✔︎ステップ１：全体の数を求める
1~20の合計20枚のくじがあるので、全体の数は20(枚)。
✔︎ステップ2: 場合分け
4の倍数と7の倍数は同時に起こらないので、それぞれのパターンを別々で計算しよう！
①引いたカードが4の倍数
- 事象A: 4の倍数＝{4, 8, 12, 16, 20} = 5個
②引いたカードが7の倍数
- 事象B: 7の倍数＝{7, 14} = 2個
それぞれの確率は、$\frac{それぞれの数}{全体}$で表せるよ！
- P(A): 4の倍数の確率＝$\frac{5}{20}$
- P(B): 7の倍数の確率＝$\frac{2}{20}$
✔︎ステップ3: 和事象の公式で足し算
- A, Bに共通項なし=P(A∪B)=P(A)+P(B)
- A, Bに共通項あり=P(A∪B)=P(A)+P(B)ーP(A∩B)
ベン図で見ると、4の倍数と7の倍数の間に共通項がありません。
そのため、P(A∪B)=P(A)+P(B)を使って確率を求めます！
P(A∪B) = P(A) + P(B)＝$\frac{5}{20}$＋$\frac{2}{20}$= $\frac{7}{20}$
(解答終了)
くじ引きの応用問題
ある箱に、1~20までそれぞれの数字を書かれたカードが１枚ずつ入っている。その箱から、１枚のカードを無作為に引くとき、カードに書かれた数字が４の倍数または5の倍数の確率を求めよ。
4の倍数と5の倍数は同時には起きません。
例えば、4のカードを引いた時、「事象A: 4の倍数」の条件は満たせますが、「事象B: 5の倍数」は満たせません。
同時に起こらない＝足し算(和事象公式)の出番ですね！
- 全体の数(くじの数)を求める。
- 場合分けをしてそれぞれの数を求める。
- 和事象の公式で足し算！
✔︎ステップ１：全体の数を求める
1~20の合計20枚のくじがあるので、前問同様に全体の数は20(枚)。
✔︎ステップ2: 場合分け
4の倍数と5の倍数は同時に起こらないので、それぞれのパターンを別々で計算しよう！
①引いたカードが4の倍数
- 事象A: 4の倍数＝{4, 8, 12, 16, 20} = 5個
②引いたカードが5の倍数
- 事象B: 5の倍数＝{5, 10, 15, 20} = 4個
それぞれの確率は、$\frac{それぞれの数}{全体}$で表せるよ！
- P(A): 4の倍数の確率＝$\frac{5}{20}$
- P(B): 5の倍数の確率＝$\frac{4}{20}$
✔︎ステップ3: 和事象の公式で足し算
- A, Bに共通項なし=P(A∪B)=P(A)+P(B)
- A, Bに共通項あり=P(A∪B)=P(A)+P(B)ーP(A∩B)
え！事象AとBの円が重なってます！共通項ありです！
共通項がある場合は、公式2:P(A∪B)=P(A)+P(B)ーP(A∩B)を使おう！
公式2: P(A∪B) = P(A) + P(B) ー P(A∩B)
P(A∪B) = $\frac{5}{20}$+$\frac{4}{20}$−$\frac{1}{20}$＝$\frac{2}{5}$
P(A∩B)は、4と5の最小公倍数の{20}の1個だけなので、$\frac{1}{20}$
(解答終了)
最後に: 和事象の確率まとめ
いかがだったでしょうか？
積事象の記事も読むことで和事象との使い分けを完璧にしましょう！
また、場合の数では、
- 和事象＝和の法則
- 積事象＝積の法則
として出てきます。合わせて押さえよう！
本日のまとめはこちらです！
- 和事象＝「どちらか一方」のイメージ
２つの事象が同時に起こらない。
- 和事象の記号「U」（または）
足してまとめるの意味
- 和事象の公式
①P(A∪B)=P(A)+P(B)
②P(A∪B)=P(A)+P(B)ーP(A∩B)
共通項があるか否かで使い分ける！
- 和事象と排反(事象)の違い
「同時に起こらない」の考え方は同じ！
和事象＝公式の部分！
排反＝「同時性」の判断の部分！
- 和事象と積事象の見分け方
①「同時性」で判断
②問題文のキーワードで判断
和事象って何？「事象が同時に起こらない」ってどういうこと？