おつかれっす！受験数学のダイです！
「2つの事象が同時に起こる」ってどういうこと!?
積事象は、確率を求める時に使う公式や計算方法です。
積事象は、確率の基礎的な概念ですが、こういう基礎の理解が1番難しいです。
この記事を読んで、なんで・いつかけ算をするのか、積事象について網羅的に理解しよう！
目次
積事象とは？
ことわざで積事象を説明してみた
積事象は、一石二鳥のイメージに近いです。
一石二鳥は、石を1つ投げて2つの鳥を捕まえることですよね。
そう！「ある1つの行為から、2つ両方の結果(利益)を得ること」だね。
この「2つの結果を両方得られる」って部分が、積事象の考え方に似ているんだ！
具体例を使ってみていこう！
例えば、サイコロを1個投げるゲーム。
サイコロを一個投げるとき、
- 事象A: 偶数の目が出る={2,4,6}
- 事象B: ３以下の目が出る={1,2,3}
これら2つの事象(結果)は、両方とも得られる可能性があります。
確かに、サイコロで2の目が出たら、事象AとBの両方の条件を満たせますね！
このように、2つの事象A,Bの両方が起きることを積事象と言います。
サイコロを投げる1つの行為で、2つの違う結果をゲットしてますね！
- 2つの事象A,Bが共に(同時に)起きること。
２つの事象の条件を同時に満たすことができる！
積事象の記号「∩」
- 記号「∩」
- 読み方: 「かつ」
例えば、A∩Bは「AかつB」と読みます。
この記号の使い方はすごく簡単！事象A, Bの共通項を探せばいんだ！
例えば、先ほどのサイコロの例。
- 事象A: 偶数の目が出る={2,4,6}
- 事象B: ３以下の目が出る={1,2,3}
これら2つの事象の共通項は{2}です。
これを積事象の記号で表すと、A∩B={2}。
つまり、事象AとBの条件を両方満たしているのが、2の目{2}ってことなんだ！
確かに、サイコロで2が出れば事象AもBも同時に起きます！
積事象の記号を使った例題をもう1問！
次の事象の積事象を記号を使って表せ。
サイコロを1回投げて、
- 事象A: 奇数の目が出る＝{1, 3, 5}
- 事象B: ４以下の目が出る＝{1, 2, 3, 4}
事象A,Bの共通項は{1, 3}なので、A∩B = {1, 3}。
1の目か3の目があれば、事象A,Bが同時に起きるってことだね！
これをベン図で見てます。
共通項の{1, 3}が両方の円で重複してますね！
2つの事象A,Bが同時に起きるときは、AとBに共通項があるので2つの円が重複します。
逆に、共通項がない時は両方の円独立します。
偶数と奇数の目に共通項はないからね！
両方の事象に共通項がない時、2つの事象は同時に起きません。これが、和事象です!
また、2つの事象の間に共通項が存在しないことを、空事象といいます。
空事象の記号$\phi$(ファイ)を使って、
- 事象A: 奇数の目が出る＝{1, 3, 5}
- 事象B: 偶数の目が出る＝{2, 4, 6}
A∩B = $\phi$と表します。
これは、事象A,Bには「共通項がない」という意味です！
積事象の公式
事象A,Bが同時に起きる時の確率$P$は、
- P(A∩B) = P(A) × P(B)
*P(A)=事象Aの確率、P(B)=事象Bの確率
2つの事象が同時に起きる時の確率はかけ算です。
公式を使って硬貨の確率を求めてみた
例えば、裏表のあるコインを2枚同時に投げる。
この時、１枚目が表、２枚目が裏である確率。
- 事象A: 表が出る
- 事象B: 裏が出る
コインを2枚投げるので、事象A,Bは同時に起きます。つまり、積事象です。
積事象の確率は、かけ算だ！
「裏」「表」の全体2通りのうち、
- 表が出る確率: P(A)=$\frac{1}{2}$
- 裏が出る確率: P(B)=$\frac{1}{2}$
確率は、$\frac{それぞれの数}{全体の数}$で分数で表す。
積事象の公式より、
確率$P$＝$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$
事象A,Bが同時に起きる時は、かけ算！
- P(A∩B) = P(A) × P(B)
この積事象の考え方は、場合の数では積の法則と言います。
和事象との違い・見分け方
和事象と積事象は、事象の「同時性」を使って簡単に区別できます。
- 和事象: 2つの事象が同時に起きない。
- 積事象: 2つの事象が同時に起きる。
確率を求めるときは、
- 事象が同時に起きない＝和事象で足し算！
- 事象が同時に起きる＝積事象でかけ算！
と区別します！
こちらの記事で、和事象と積事象の違いを徹底解説しています。
積事象を使って入試問題を解いてみた
赤玉、白玉の確率
白玉5個と赤玉4個が入っている袋Aと、白玉6個と赤玉3個の袋Bがある。これら袋A, Bから同時に球を１つずつ取り出すとき、取り出した玉が２個とも白玉の確率を求めよ。
2つの袋から同時に取り出すので、同時に起きる＝積事象です！
- 全体の数(玉の数)を求める
- それぞれの事象の確率を求める
- 積事象の公式で、確率をかけ算する！
✔︎ステップ１: 全体の場合の数
確率では、白玉6個のように同じものでも、番号などを振って1つ1つ区別します。
これを、同様に確からしいと言います。
同じ白玉、赤玉でも区別したので、袋AもBも９個の玉があるね。
- 袋A = 白玉５個 + 赤玉４個 = 合計９個
- 袋B = 白玉６個 + 赤玉３個 = 合計９個
✔︎ステップ2: 事象の確率
次は、２個とも白玉を引く確率ですね！
- 袋A: 全体9個の内、白玉5個= $\frac{5}{9}$
- 袋b: 全体9個の内、白玉6個= $\frac{6}{9}$
✔︎ステップ3: 積事象公式でかけ算
- 袋Aの確率＝P(A), 袋Bの確率＝P(B)
公式P(A∩B) = P(A)×P(B)より、
= $\frac{5}{9}$ ×$\frac{6}{9}$ = $\frac{10}{27}$
（解答終了）
応用: くじ引きの確率
積事象の定番問題「くじ引き」問題を見ていこう！
合計10本のくじに、当たりくじが３本ある。たけしとまゆみが2人が順に1本ずつ引くとき、たけしが当たりで、まゆみがはずれの確率を求めよ。ただし、たけしが引いたくじは元に戻す。
くじ引きを１本ずつ引いて、
- 事象A: たけしが当たり
- 事象B: まゆみがはずれ
事象Aも起きて、事象Bも起きるので、積事象の確率です！
「たけしだけが当たる確率」なら、事象Aの一方しか起きないので和事象。
- 全体の数(くじの数)を求める。
- 当たりとはずれのそれぞれの確率を求める。
- 求めた確率をかけ算する！
✔︎ステップ１: 全体の場合の数
くじの全体数は、10本です。
たけしが先に引いたくじを元に戻すので、まゆみがくじを引くときも同じ10本です。
ちなみに、これを確率では独立と言います。
✔︎ステップ2: 当たりとはずれの確率
- 当たりの数: 3本＝3通り
- ハズレの数: 10(全体)−3(当たり)＝7通り
確率＝$\frac{それぞれの数}{全体の数}$なので、
- 事象A: P(A)＝$\frac{当たりの数}{くじ全体の数}$＝$\frac{3}{10}$
- 事象B: P(B)＝$\frac{ハズレの数}{くじ全体の数}$＝$\frac{7}{10}$
✔︎ステップ3: 積事象公式でかけ算
公式P(A∩B) = P(A)×P(B)より、
= $\frac{3}{10}$ ×$\frac{7}{10}$ = $\frac{21}{100}$
（解答終了）
最後に：積事象の確率まとめ
いかがだったでしょうか？
本記事に加えて、和事象も理解して、積事象との使い分けを完璧にしましょう！
本日のまとめはこちらです！
- 積事象: 2つの事象が同時に起きる。
例: サイコロを1回投げて、「偶数の目」と「3以下の目」が出る。
- 同時に起こる＝事象A,Bの両方の条件を満たす。
- 積事象の記号∩: 事象A, Bの共通項を表す。
- 積事象と和事象の区別: 「同時性」で判断。
同時に起きる＝積事象、同時に起きない＝和事象
- 積事象の公式: P(A∩B) = P(A)×P(B)
積事象って何？なんでかけ算？いつ使うの？