反復試行の確率を分かりやすく！公式覚えなくても反復試行は解けます！

どうも！受験数学ラボのダイです。

反復試行ってなんやねん?いつ使うの？

反復試行の公式が全く覚えられない！

反復試行ってなんとなく意味は理解できても、公式は見た目が複雑で覚えるの大変ですよね。

そんな皆さんに朗報です。反復試行では、公式は覚えなくていいんです！

実は反復試行は、３つの最強解法テクニックを知っておけば解けます。

反復試行の公式もこの考えに基づいてるので、この解法手順を理解すれば

公式なんて忘れても導けるし、何より問題が解けるようになります。

この記事を読んで、ぜひ反復試行解法テクニックをマスターしてください。

反復試行とは？

反復試行は、教科書では以下のように定義されます。

言ってしまえば、同じ条件のもとで繰り返して連続で行う試行です。

例えば、以下のような試行は反復試行の典型例です。

反復試行は同じ試行を複数回行うことがポイントです。問題文では、「〜回続けて」のようなキーワードがあり、これは出題者から「反復試行ですよ！」というメッセージです。

くじ引き問題では、「AからBの順番で引く」や玉の取り出し問題では「取り出した玉を元に戻す」など同じ試行を複数回行う上での条件が明記されることもあります。

ある試行を複数回連続して続ける場合は、反復試行です！

反復試行の公式

この公式の考え方を一言で言うと、

試行のパターンを考えて行う回数分掛けてしまえばいい

一般的な確率の問題では、ある事象の確率に焦点を当てて計算しますよね。

例えば、サイコロで５の目が出る確率は

• ５の目＝１通り
• サイコロ全体＝６通り

確率＝$\frac{特定の事象の数}{全体の数}$＝$\frac{1}{6}$だね！

これは反復試行でも同じです。

しかし、反復試行では試行が複数回連続で起きるので、それに応じて事象（試行の結果）の数も増えます。

サイコロ3回投げると、1回目「２の目」、2回目「５の目」、3回目「４の目」。それぞれの試行において結果が出るので、3回サイコロを投げると３つの結果（事象）が考えられます。

そして、「試行が複数回起きる＝その結果の数も増える」とパターンを考える必要があります。

なので、反復試行では以下の３つの手順が必要になります

ステップ１：組み合わせ(C)でパターンを考える

例えば、「サイコロを3回投げて、５の目がちょうど2回でる確率」

この場合、何回目に５の目が出てもいい。でも、必ず2回は５の目でないといけません。

もっとイメージがしやすいように表にしてみましょう！

3回の試行でちょうど2回５の目が出るパターンは、全部で３通りです。

これは組み合わせ(C)を使うことで一瞬で求められます。

3回の試行のうち、2回５の目が出る＝${}_3 C_2$=$\frac{3×2}{2}$=3通り

表の答えと同じですよね！

ついでになぜ反復試行では組み合わせ(C)で、順列(P)ではないのかも押さえておこう！

ステップ２：ターゲット事象の確率とそうでない確率

ここでいうターゲット事象とは問題文で問われている確率のことです。

「サイコロを3回投げて、５の目がちょうど2回でる確率」では

５の目がでるがターゲット事象（求めるべき確率）です。

サイコロで５の目が出る確率＝$\frac{1}{6}$

そして、ターゲット事象の後にそうでない反対事象の確率（余事象）を考えます。

３回の試行のうち、5の目が出ていいのは２回だけです。

しかし、今回の試行の回数は全体で３回です。

つまり２回は5の目が出て、残りの１回は「5の目が出ない」

そうでない場合の確率。余事象を考えます。

余事象はある事象が起こらない場合。つまり、ある事象Aの反対の事象！

「5の目が出る」の反対を考えればいいので、「5の目が出ない」

つまり、「５以外の目が出る」が余事象です！

５の目以外は「1の目」「2の目」「3の目」「4の目」「6の目」の５通り

全体は１〜６の６通りなので、５の目以外の確率＝$\frac{5}{6}$

ステップ３：求めた組み合わせと確率を起こる回数分かけ算

さて、上記のステップで求めたものは以下の通りです。

あとはこれらを起こる回数分かけます。

ターゲット事象（5の目が出る）は、ちょうど２回起こるので＝$\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$

そうでない事象は１回しか起こらないので、そのままで$\frac{5}{6}$

これを１つの式にまとめると、

${}_3 C_2$×$\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$×$\frac{5}{6}$＝$\frac{5}{72}$

これが反復試行の公式の全てです。

複数回試行を行うので、パターンを考える。

ターゲット事象の確率を求めて、ターゲット以外の事象の確率も考える。

最後に、確率を起こる回数分かけて１つの式にまとめる

公式を暗記というよりも、２つのステップで反復試行を解くことで

たとえ公式を忘れても問題を解くことができるようになります！

独立試行との違い

反復試行と独立試行ってどう違うの？

実は、反復試行は独立試行の別パターンです。

独立試行は、２つの試行が互いに影響を与えないかを区別するものです。

反復試行は、その独立な試行を何度も繰り返した場合のことです。

まとめると、

• 独立試行＝２つの試行が互いに影響を与えるかどうか
• 反復試行＝独立な試行を何度も繰り返したとき（独立試行の別パターン）

独立試行と反復試行は、試行回数に違いがあるだけで

独立試行を２回以上続けてやると、独立試行は反復試行に名前を変えるんです！

反復試行を使ってサイコロ問題を解いてみた

これも先ほど紹介した3つステップで解くことができます。

６回の試行の中で、4回4以下の目が出る。

（1回目、2回目、3回目、4回目）とか（1回目、3回目、5回目、6回目）とか

いくつかのパターンが考えられますね。

今回のターゲット事象は、4以下の目が出る確率です。

そうでない余事象は、「４以下が出ない」＝「５以上の目が出る」です

最後に、求めたものを起こる回数分かけて計算します。

それぞれ具体的にみていきましょう！

ステップ１：組み合わせ(C)でパターンを求める

６回の試行の中で、4回4以下の目が出るパターンは

組み合わせを使って、

${}_6 C_4$=$\frac{6×5×4×3}{4×3×2}$=15通り

つまり６回試行を行う中で、(1回目,2回目,3回目,4回目), (2回目,3回目,4回目,5回目)…..のような4回4以下の目が出るパターンが１５通り考えられるということです。

ステップ２：ターゲット事象とそうでない確率

ターゲット事象4以下の目が出る確率を求めていきましょう！

サイコロで4以下の目は{1の目, 2の目, 3の目, 4の目}の４通りです。

サイコロは１〜6の目の６面で全体は６通りです。

これを確率で表すと、確率＝$\frac{ターゲット}{全体}$=$\frac{4}{6}$

これを約分すると、確率＝$\frac{2}{3}$

ターゲット事象のあとは、そうでない場合だね！

そうでない余事象＝５以上の目が出るです。５以上の目は{5の目, 6の目}の２通りしかないので

確率=$\frac{５以上の目}{全体}$=$\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

ステップ３：求めた組み合わせ、確率を起こる回数分かけ算

求めた組み合わせ、確率は以下の通りです。

後はこれらを起こる回数分かけて計算します。

ターゲット事象（４以下の目）は４回起きるので、$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$

そうでない余事象は２回起きるので、$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$

最後に、組み合わせもまとめてかけ算して

${}_6 C_4$×$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$×$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$=$\frac{80}{243}$

６回の試行で４回４以下の目が出る確率は$\frac{80}{243}$です！

反復試行の応用問題を解いてみた

これは反復試行の中でも難しい応用問題にあたります。

なぜなら場合分けが必要だからです。

まず同じ試行を５回行うとあるので、複数回の試行＝反復試行だとわかります！

５回の試行の中で４回以上表が出るを考えた時、

1. ４回表が出る
2. ５回表が出る

これら２パターンを考えることができます。

これら２つは同時に起きることがありません。

この場合１つの式でまとめて計算できないので、それぞれの場合を別々で計算して後で合算します。

イメージとしては、

４回表が出る確率＋５回表が出る確率＝４回以上表が出る確率

同時に起こらない＝「場合分け」＝足し算

同時に起こる＝１つの式にまとめてかけ算

場合分け①：４回表が出る

まず、組み合わせのパターンを考えていきましょう。

５回の試行のうち４回表が出る組み合わせは、${}_5 C_4$ = 5通り

今回のターゲット事象は、表が出る確率です。

コインを投げて、表が出る確率は１通り。コイン全体は表と裏なので２通り

これを確率で表すと、$\frac{表}{全体}$ = $\frac{1}{2}$

そうでない余事象は、「表が出ない」つまり「裏が出る」確率です。

ちょうど４回表が出るためには、残り１回は必ず裏が出ないといけません。

コイン全体は２通り、裏が出る通りは１通りしかないので

裏が出る確率 = $\frac{裏}{全体}$ = $\frac{1}{2}$

後は、求めた確率を起こる回数分かけてまとめて計算します。

ターゲット事象（表が出る）は４回起こります＝$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}

そうでない余事象は１回しか起こらないので、そのままで$\frac{1}{2}$

最後に求めた全てのものをまとめて

${}_5 C_4$×$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$×$\frac{1}{2}$＝$\frac{5}{32}$

場合分け②：５回表が出る

同じくまずは組み合わせのパターンを考えていきましょう。

５回表が出るパターンは、1通りしかありません！

５回サイコロを投げて結果は全て表なので他のパターンを考える必要がないんです！

ちなみに、組み合わせを使っても５回サイコロを投げて、５回表が出るは

${}_5 C_5$＝$\frac{5×4×3×2}{5×4×3×2}$=１通り

ターゲット事象は、表が出るです。

表が出る確率は$\frac{1}{2}$です。

今回の場合はそうでない余事象を求める必要がありません。

５回サイコロを投げるときに、５回全てで表が出るので

そうでない場合は存在しないのです。

例えば、今回のそうでない余事象「表がでない」＝「裏が出る」として

余事象の確率＝$\frac{1}{2}$としてもいいのですが、

起こる回数分をかけるとき、この事象は起こらないので０（ゼロ）をかけてなくなることになります。

ターゲット事象（表が出る）を起こる回数分かけてまとめます

ターゲット事象は５回起きるので、$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$

求めた全てのものをまとめて

１×$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$＝$\frac{1}{32}$

最後に、５回コインを投げて、４回以上表が出る確率をまとめると

４回表が出る確率（場合分け①）＋５回表が出る確率（場合分け②）＝４回以上表が出る確率

$\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{6}{32}$ = $\frac{3}{16}$

最後に：反復試行のまとめ

いかがだったでしょうか？

以下に本日のまとめを書いておきますね！

反復試行の公式は、３つのステップに分けて理解することで

同時に公式の証明を理解できるし、何より暗記する必要がなくなります。

公式の暗記から入るのではなく、

「組み合わせでパターンを求め、ターゲット事象とそうでない確率を考えてまとめる」

この流れをしっかりと押さえておきましょう！