どうも！文系受験数学のダイです！
問題の解き方のコツや各種公式を知りたい！
よし！じゃあ、この記事だけで「場合の数」の全てを網羅しよう！
本記事では、場合の数の入試に出る全14項目を１記事にまとめました！
各種公式や解き方をしっかり押さえていこう！
目次
場合の数とは
ある事柄が起こりうる全てのパターンの総数です。
例えば、パーティーをする時をイメージしてみましょう。
１つの大きなテーブルの上に、食材や食器をどう並べるか。食材を真ん中に置いたり、机の右端に置いたりといくつかのパターンがあります。
そのパターン全てを考えて、全部で何通りの並べ方があるのか。このパターンの数え上げのことを場合の数と言います。
場合の数の問題では以下の２つの手順で問題を解いていきます。
- 特定の物事が起こる可能性を全通り考える
- 考えた後、全部で起こりうるパターンがいくつあるか数える
サイコロを１回投げたときに、起こりうる全てのパターンは以下の通りです。
つまり、サイコロの1~6までの出目全てなので、6通り。
よって、サイコロを１回振った時の場合の数は、6通り。
ある物事の起こるパターンを考えて、そのパターン全ての数を求める。これが場合の数なんだ！
確率との違い
場合の数と確率は、基本セットで出題されますが、それぞれ意味が異なります。
- 場合の数: 起こりうる全てのパターンの総数。
- 確率: ある物事の起こりやすさを数値化したもの。
✔︎ 場合の数
場合の数は、問題文で問われている物事の起こる全通りを数えます。
例えば、サイコロを１回投げて、偶数が出る場合の数。
サイコロで偶数が出るパターンは、{2の目, 4の目, 6の目}です。
偶数のパターンは、これら3つしかありません。
よって、求める場合の数は、3通りです。
✔︎ 確率
確率は以下のように分数を使って、特定の物事が起こる頻度を表します。
確率＝$\frac{特定の物事が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}$
サイコロで偶数が出る場合では、このようになります。
確率＝$\frac{偶数の目が出る場合の数}{サイコロ全体の場合の数}$
偶数の目が出るパターンを数えることは、場合の数も、確率も同じです。
しかし、確率では、このプロセスに加えて、サイコロ全体の場合の数も求めます。
サイコロ全体は、出目1~6の6通りです。
そして求めた後に、分母に全体の場合の数、分子に特定の場合の数を置きます。
求める確率＝$\frac{偶数の目が出る場合の数}{サイコロ全体の場合の数}$＝$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$
よって、偶数の目が出る確率は、$\frac{1}{2}$です。
- 場合の数: 起こりうる全てのパターン。
- 確率: $\frac{特定の場合の数}{全体の場合の数}$
特にセンター試験では、場合の数か確率を求めるのかは問題文で丁寧に案内されます。場合の数と確率の違いは、そこまで心配しないでもOK！
樹形図とは
求める場合の数が、何通りあるのかを効率よく数えるための図。
場合の数では、ある物事の起こりうるパターンを考えて、その全てを数え上げます。
しかし、その過程で数え漏れや、重複して数えると、その問題は正解できません。
つまり、素早く間違いなく数えることが必要です。そのために、樹形図を書くのです。
本記事では、樹形図を簡単に書けるようになる３つのステップを紹介します。
樹形図を使うべき問題の区別は以下の関連記事を参考に！
- 名前を決めて左から順番に書く!
- 最初に予想される結果を縦に書く!
- 最初の結果を基にそれ以降の結果も!
例題を通して、樹形図の書き方を実践してみよう！
例題: 大中小の３つのサイコロを同時に投げて、目の和が５になる通りはいくつあるか。
✔︎ステップ1: 名前を決めて左から順番に並べる
今回の問題では、すでに３つのサイコロに名前がつけてあります。
大サイコロ、中サイコロ、小サイコロ
よって、以下のように樹形図を書き始めます！
樹形図を書く問題では、
- リレーの走者を決める問題
- 2~3個のサイコロの目の総和を決める問題
- コイン2~3回投げる問題
などが一般的です。以下のように名前をつけられます。
- リレー: 第一走者、第二走者、第三走者….
- サイコロ: (大、中、小) や (A, B, C)など
- コイントス: １回目、２回目、３回目など
✔︎ステップ2: 最初に予想される結果を縦に並べる
上記のステップで決めたパターンを、さらに展開させていきます。
3つのサイコロの目の和が５になるには、大のサイコロが{1}, {2}, {3}の3通り考えられます。
ここで、大の目が{4}になると、中のサイコロで和が5以上になってしまいます。
3個のサイコロの和が5になるように、大の目のパターンを決めるのがコツです！
✔︎ステップ3: 最初の結果を基にそれ以降の結果も書く
先ほど決めたパターンを、さらに展開していきます。
ここでは、順番よく横に展開することがポイントです。
まず、大サイコロの目１から、その派生するパターンを考えます。
大と中の目を足して、4以下になれば、小のサイコロで目の和が５になります。なので、中の目では{1}, {2}, {3}が考えられます。
これは、大の目が２でも、３でも、同じなので以下のように派生できます。
あとは、大中小を足して５になればいいので、このように樹形図を書けます。
名前を決める→最初の結果を縦に書く!→横に枝状に展開だね！
数え上げの法則
場合の数では、物事の起こるパターン数を数えることが基本です。
その１つの方法として、先ほどは樹形図を紹介しました。
しかし、入試問題には厳しい時間制限があります。
求める場合の数が大きすぎて、樹形図を書くと、かえって時間を費やし非効率な場合があります。
そのため、場合の数では樹形図を書くことに加えて、さらに効率よく物事のパターンを数えることができる２つの法則があります。
これら２つの法則を理解することで、場合の数の入試問題をさらに、効率よく短時間で解けるようになります。
和の法則
ある２つの事柄A, Bが同時に起こらない時、Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りとすると、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は (m+n) 通り
和の法則では、2つのポイントがあります。
- ２つの物事が同時に起こらない。
- 足し算で、場合の数を求める。
場合の数では、２つの物事が「同時に起きるかどうか」を基に、
- 同時に起こらない → 和の法則
- 同時に起きる → 積の法則
と使う法則を区別していきます。
この「同時発生」を腹の底から理解することは意外と難しいですよね。
しかし、本記事で推奨する２つのイメージで、和の法則と積の法則が完全に区別できるようになります。
- 同時に起こらない＝ある行為から、どちらか１つの結果しか得られない。
- 同時に起こる＝ある行為から、２つ両方の結果を得られる。
最初に「同時に起こらない」イメージの和の法則を見ていきましょう！
「同時に起こらない」のイメージ
数学における同時に起こらないとは、
ある行為から、どちらか１つの結果しか得られないことです。
例えば、以下のような例です。
- 行為: サイコロを１回振る
- 結果: 「偶数の目が出る」または「奇数の目が出る」
サイコロを１回振って、偶数と奇数の両方の結果は得られません。
- 偶数= {2}, {4}, {6}
- 奇数= {1}, {3}, {5}
サイコロを１回投げて、「やった！1と2の両方の目が出た！」なんてことは、サイコロを細工しない限りありえませんよね。偶数か奇数、どちらか一方しか得られないはずです。
このように、ある行為から、どちらか一方の結果しか得られないことを「同時に起こらない」と言います。
さらに数学では、この「同時に起こらない」を別の専門用語を使って、排反であると言います。
サイコロを１回振っても、「偶数の目」か「奇数の目」のどちらか一方の結果しか得られない。この場合、「偶数の目」と「奇数の目」は、排反であると言います。
反対の「同時に起こる」イメージは、積の法則で詳しく説明します！このまま読み進めてください！
同時に起きない時は、足し算せよ
和の法則には、「同時に起きない」に加えてもう１つポイントがあります。
それは、ある２つの結果が同時に起きない場合は、足し算をせよ！
先ほどの例を使って、具体的に見ていきましょう！
- 行為: サイコロを１回振る
- 結果: 「偶数の目が出る」または「奇数の目が出る」
サイコロを１回振っても、偶数か奇数のどちらか１つの結果しか得られないので、これは「同時に起きない」パターンでした。
この場合、和の法則を使って、足し算で場合の数を求めます。
つまり、偶数の目が出るパターンと奇数の目が出るパターンをそれぞれ求めて、足し算してまとめます。
偶数、奇数のそれぞれの場合の数は３通り。
あとは、これを足し算でまとめます。
偶数または奇数の場合の数＝ 偶数+奇数
＝ 3通り+3通り
＝ 6通り
（解答終了）
次は反対の「同時に起こる」イメージを、積の法則で詳しく見ていくよ！
積の法則とは
ある２つの事柄A, Bが同時に起こる時、Aの起こり方がm通りあり、その各々のBの起こり方がn通りとすると、AかつBが共に起こる場合の数は (m×n) 通り。
積の法則でも、ポイントは以下の２つです。
- ２つの物事が同時に起こる。
- かけ算で、場合の数を求める。
「同時に起こる」のイメージ
和の法則では、「偶数の目」と「奇数の目」の例題で、同時に起こらないパターンを見てきました。
同時に起こらない＝ある行為から、どちらか１つの結果しか得られない。
積の法則は、まさにその逆で「同時に起こる」パターンです！
同時に起こる＝ある行為から、２つ両方の結果を得られる。
これは、一石二鳥という言葉のイメージに近いです。
一石二鳥は、石を１つ投げて、２つの鳥を捕まえることから、「１つの行為で、２つの利益を得る」ことを意味します。
では、このイメージを場合の数で考えてみましょう！
行為: 大小2個のサイコロを同時に振る
結果: 大サイコロ＝「偶数の目が出る」
小サイコロ＝「奇数の目が出る」
和の法則の例題では、サイコロは1個だけでした。そのため、偶数と奇数の両方は得られないから、同時に起きないと判断できました。
しかし、サイコロが２つの場合はどうでしょう？
この場合、大のサイコロで偶数、小のサイコロで奇数が出ると、「偶数」と「奇数」の２つの結果が１つの行為で得られます！
２つのサイコロを同時に投げる１つの行為が、「偶数」と「奇数」の２つの鳥を両方捕らえるイメージです。
これを数学では「同時に起こる」といいます。
そして、この時場合の数は、かけ算をして求めます！
大小で偶数かつ奇数＝偶数×奇数
＝3通り×3通り
＝９通り
（回答終了)
順列とは
場合の数では、物事の起こるパターン全てを数えます。
数える際に、なんとなくでやっていると数え間違えが起きます。
順列や組合せも、数え上げの際に有効なテクニックです。
これらの公式や違いを理解することで、短時間で正確に場合の数が数えられるようになります！
順列の意味と公式
２つ以上のものを順序をつけて１列にまとめて並べたもの、または並べ方の総数です。
例えば、ある５人から３人をランダムに選んで、一列に並べる。
この５人の名前をA, B, C, D, Eとすると、
(A, B, C), (A, B, E), (C, B, D), (C, D, E)…..
かなりのパターンの数は予想されますよね。
これを樹形図で書くと、時間もかかって非効率です。
しかし、これを以下の公式を使うと、一瞬で解けてしまいます！
異なるn個のものから、r個を取り出して一列に並べるときの順列は、
${}_n P_r$＝ n ×(n-1)×(n-2)×…
読み方: エヌ・ピー・アールと読む
P(Permutation):英語で並べ方、配列の意味。
５人から３人を選んで一列に並べる順列は、
${}_5 P_3$ = 5×4×3 = 60通り
読み方: ５・ピー・３
公式を使えば、このように即座に解けます！
公式が便利なのは分かったけど、覚えられない！！
なんで${}_5 P_3$ = 5×4×3になるの！？
いい質問だね！順列の考え方を理解すれば、大丈夫！
順列では、必ず順番を考慮して、一列に並べます。
例えば、５人から３人を選んで並べる場合、以下の３つの手順で並べます。
- 5人から、1人目を選ぶ。
- 残った4人から、2人目を選ぶ。
- 残った3人から、3人目を選ぶ。
違う名前の5人(A,B,C,D,E)から、3人を1人目、2人目、3人目と順序よく選んで、一列に並べる。
そのため、順序よく選ぶ度に、全体の数が１つ減っていきます。
- 5人から1人目を選んで、残り4人。
- 残り4人から、2人目を選んで、残り3人。
全体の数が、(5-1) = 4人, (4-1)=3人
これが、公式の(n-1)×(n-2)の部分なんです。
${}_n P_r$＝ n ×(n-1)×(n-2)×…
${}_5 P_3$ = 5 × (5-1) × (5-2) = 5×4×3
順列は、nから１つずつ数を減らして全部かけ算すればオッケー！
順列計算のコツや詳しい公式の解説はこちら！
組み合わせとの違いはこちらを！
階乗とは
異なる$n$個のものから$n$個全てを取って並べる並べ方。
$n!$ = n × (n-1) × (n-2)… ＝${}_n P_n$
$n!$は、nの階乗と呼びます。
順列を考える時に、もう１つ重要な考え方階乗があります。
階乗は、一言で言うと、欲張りな順列です。
順列では、5人から3人を選んで１列に並べました。異なる全体5人(n)から、3人(r)を選ぶので、
${}_n P_r$ =${}_5 P_3$ = 5×4×3 = 60通りでした！
しかし！階乗では、全体5人から、5人全員を選びます！
つまり、あるもの全てを取って、並べるんです。欲張りなイメージが湧きませんか。
全体5人から、5人全員を選ぶ場合は、
$5!$ = 5×4×3×2×1 = 120通りとなるんです！
あるもの全てを選んで、一列に並べる欲張りな順列を、階乗と言います。
なんで、$5!$ = 5×4×3×2×1 になるんですか？
階乗も順列と同じで、イメージ図で考えると分かりやすいよ！
階乗は、全部取るといっても、一回でまとめて選んで並べるわけではありません。
順列と同じく階乗も、順番よく１つ１つ選んで、並べます。
それでは、5人をA,B,C,D,Eとして、5人全員１列に並べてみましょう。
まず、列の１番目を決めていきます。１番目は、A,B,C,D,Eの5通りの選び方があります。ここでは、Aを選びます。(なんでもいいです)
２番目は、Aを除くB, C, D, Eの4つのどれかになります。ここでは、Cを選びます。
3番目は、すでに選んだA,C以外の３つのどれかになります。
ここでBを選ぶとします。すると、４番目には、D, Eどちらかで2通りです。
４番目にDを選ぶと、５番目は残りのEで1通りです。
これら全てをまとめると、
5人全員を選ぶ = 5×4×3×2×1 = 120通り
5→4→3→2→1と選ぶ度に、全体の数が１つずつ減少します。
これは、順列${}_5 P_5$ = 5×4×3×2×1と同じです。
だから階乗の公式では、$5!$ = ${}_5 P_5$なんです！
${}_n P_r$のnとrが同じになって、びっくり！だから、ビックリマークの階乗みたいに覚えよう！
階乗を計算するときは、一通りまで全て選び尽くすことから、その数字から１になるまで、全てを掛け合わせます！
その数字から、順番よく１になるまで掛け合わせる！
$1!$ = 1
$2!$ = 2×1
$3!$ = 3×2×1
$4!$ = 4×3×2×1
このように階乗では、１を基準としてその数字から１まで、全てをかけて計算します。
数学では、0の階乗は1です。この理由は、階乗では１が基準となるからです。
階乗の数字が０だと、０＝変化なしと解釈でき、基準の数字１がそのまま残るのです。「何もしない0の階乗は、基準の１」と暗記しよう！
こちらの記事でさらに詳しく解説しています！
組み合わせ
組合せの意味と公式
２つ以上のものから、順番を考慮することなく取り出すこと。
順列とは違って、順番を気にすることなく選ぶので、並べない順列とも言います。
組み合わせは、以下の公式を使って求めます。
異なるn個からr個を取り出した時の総数は、
${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
*Cは、英語のCombination: 組合せの略です。
読み方は、エヌ・シー・アールです。
例えば、6種類のケーキから3個選ぶ組合せ。
６種類もあるものを、樹形図で書くのはしんどいですよね。
ここで組合せの公式を使えば一瞬で求められます。
全部で６種類(n)のケーキから、3つ(r)選ぶので、
${}_6 C_3$ = $\frac{{}_6 P_3}{3!}$ = $\frac{6×5×4}{3×2}$ = 20通り
次に、公式の証明を見ていこう！
組合せ公式の証明
異なるn個からr個を取り出した時の総数は、
${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
なんで、組合せ公式は、順列$P$と階乗$!$を使うの？
なんで、$r!$で割るの？
それは、組合せが順番を考慮しないから！
例えば、３種類のケーキで考えてみましょう。
イチゴ、チーズ、ブルーベリーの３種類のケーキがあります。
この３種類のケーキから、２種類選ぶ順列は、
それぞれのケーキに対して、２つの選択肢があるので、
3 (ケーキ３種類)×2 (それぞれ２つの選択肢) = 6通りです。
順列は、選ぶ順番で異なるので、(イチゴ、チーズ), (チーズ、イチゴ)は、それぞれ違うものです。
では、３種類のケーキから、２つを選ぶ組合せはどうでしょうか？
組合せは、順番を考慮しない順列です。そのため、(イチゴ、チーズ), (チーズ、イチゴ)は同じです。
そのため、組合せは、3通りしかありません。
順列で、(イチゴ、チーズ), (チーズ、イチゴ)を2つとして余分に数えています。
そのため、通常の順列から余分に数えた分を割って、組合せにします。
この余分に数えた分＝$r!$です。
これを、組合せ公式で表すと
$\frac{{}_n P_r}{r!}$＝$\frac{ケーキを１列に並べる順列}{順列で余分に数えてる分}$＝組合せです！
実際に計算しても、
${}_3 C_2$ = $\frac{{}_3 P_2}{2!}$=$\frac{3×2×1}{2×1}$ = 3通りです！
こちらの記事で公式の証明や組み合わせ問題の解き方をさらに詳しく解説しています。
順番を考慮するかどうかで判断する。
- 組合せ: 順番を気にしない。ABCも、BCAも同じA, B, Cの３つから成るので同じ。
- 順列: 並べる順番によって、区別する。BACとACBは、全く違うもの。
こちらの記事で両者の違いを徹底解説しています。
色々な順列
受験数学には、最頻出の5つの順列があります。
順番を考慮して一列に並べることは、全ての順列に共通しますが、それぞれ違った特徴があります。
これから紹介する公式やテクニックを覚えれば問題ないよ！しっかり読み進めていこう！
一定の条件で並べる順列
並び方に条件のある順列です。条件付き順列とも言います。
条件付き順列では、条件の強いものから決めていくことがポイントです。
0, 1, 2, 3, 4の5個の数字全部を一列に並べてできる5桁の整数は何個あるか。
この問題を、5個の整数から5個を選ぶので
${}_5 P_5$もしくは$5!$ = 5×4×3×2×1 = 120通り
とすると間違いです!!
なぜなら、この120通りには５桁の整数ではないものがあります。
01234, 01342, 04312…..
このように、0が最上位に来ると位が下がって４桁になってしまいます。
だから、1番左(最上位)に０がこないような条件で並べよう！
まず、条件の強い万の位から考えていきます。
0を置くとダメなので、それ以外の4つの数字で4通りです。
次に、千の位を決めます。万の位で選んだ数字以外を置けるので4通りです。
百の位も同様に、万と千の両方の位で選んだ数字以外で3通り。
十の位は、残りの数字2つ、一の位は、その残りで1通りです。
これらを積の法則でまとめると、
5桁の整数＝万の位×千×百×十×一
＝4×4×3×2×1 = 96通り
(解答終了）
それぞれの位の数字が同時に集まって５桁の整数ができるので、積の法則でかけ算だね！
整数の並べ替え問題は、条件付き順列の入試典型パターンです。
以下のパターンも最頻出です。
- ○○ケタの整数で、偶数・奇数は何個あるか？
- ○○ケタの整数で、3の倍数は何個あるか？
並べ替えの条件に、偶数や奇数、倍数がつくと解法の手順が変わってきます。
条件付き順列のまとめ記事も読んで、全ての出題パターンを攻略だ！
重複順列
同じものを繰り返し使って一列に並べる順列。
問題文に「繰り返し」を意味するキーワードがあるので、重複順列の見分けは容易です。
通常の問題と比較してみましょう。
通常３桁の整数を作る時、問題文に指定がない限り同じ数字は使えません。
でも、重複順列では「同じ数字を使ってよい」の追加条件があります！つまり、３桁の整数のどの位でも同じ数字が使えることになります。
このような重複順列は、以下の公式で簡単に解けます。
$n$通りの選択を$r$回繰り返す重複順列は$n^{r}$。
整数の並べ替え問題を通して、公式を使ってみよう！
1,2,3,4,5の5個の数字で、３桁の整数を作る時、３桁の整数は全部で何通り作れるか？ただし、同じ数字を何度使ってもいい。
どの位でも、同じ5つの数字が使えるので、
重複の３桁の整数 = 5×5×5 = 125通りです！
5×5×5 = $5^{3}$と同じですよね！
5通りの選択が、3回繰り返されていますね！
だから、重複順列では、$n^{r}$通りで計算します！
重複順列では、同じものを何度でも使えるから$r^{n}$通りと覚えよう！
通常の問題では、同じものを重複できないので、数字を選ぶ度に1つずつ減少します。
まず、3つの異なる数字を選び方は、百の位は5通り。
しかし、百の位で選んだ数字①はもう使えないので、十の位は残りの数字で4通り。
一の位も同様に、百の位と十の位で選んだ数字以外しか使えないので、3通り。
これらを積の法則でまとめます。
３桁の整数の総数 = 5×4×3 = 60通り
（解答終了）
重複順列では、下記のような部屋の割当て問題も頻出です。
7人が2つの部屋A,Bに入る方法は全部で何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。
「1人も入らない部屋OK」というが本問題のキーワードです。
この意味は、7人全員が部屋Aにいてもいいし、部屋Bに重複してもいいということ。
つまり、7人それぞれに部屋A, Bという2つの選択肢があります。
部屋A, Bの2つの選択肢が、7人分あるので、
$n$ = 2, $r$ = 7として、$n^{r}$ = $2^{7}$ = 128通りです。
(解答終了)
「同じものを使ってもいい」「空き部屋があってもいい」などのキーワードがあれば、重複順列を疑おう！
公式の証明やさらに詳しい問題の解き方はこちらから！
隣り合う順列
ある特定のもの同士が「隣り合う」「隣り合わない」条件の下で並べた順列。
このような「隣り合う」「隣り合わない」順列は、以下のテクニックで解くことができます。
隣り合う順列: 隣り合うもの同士を1つのグループとしてまとめる。
隣り合わない順列: 隣り合わない以外のものを先に並べて、隣り合わないものをその隙間に入れる。
それぞれ例題を通して、理解していこう！
男子4人、女子2人を一列に並べる時、次の並び方は何通りあるか。
- 女子が隣り合う並べ方
- 女子が隣り合わない並べ方
✔︎女子が隣り合う並べ方
隣り合う場合は、女子2人をまとめて１つのグループにします。
女子をまとめて１つとすると、この順列には合計5人が並ぶことになります。
異なる5人(n)から、5人(r)を選んで並べるので、${}_5 P_5$
そして、忘れていけないのは女子の並び替えです。
女子が右にくるか、左にくるかで変わってきます。それぞれ1通り、合計2通りです。
あとは、積の法則でこれらをまとめます。
女子が隣り合う = 5人並び方×女子の並び替え
=${}_5 P_5$×2=5×4×3×2×1×2= 240通りです。
✔︎女子が隣り合わない
隣り合わない順列では、以下の２ステップで解きます。
- 隣り合わない以外のものを並べる
- 隣り合わないものを、先に並べたものの隙間に入れる
本文では、女子2人が隣り合わないので、先に男子4人を並べます。
4人(n)の男子から、4人(r)選んで１列に並べるので、${}_4 P_4$
次に、並べた男子の隙間に女子を入れます。
男子の間に女子がそれぞれ入れば、女子は隣り合わないからね！
合計５つある隙間に、2人の女子を順番よく入れるので、${}_5 P_2$
同じ男子の隣に並べても、女子の順番が違えば、並び方も違います。
あとは、積の法則でこれらをまとめます。
女子が隣り合わない = 男子の並べ方×隙間に女子を順序よく並べる
=${}_4 P_4$ × ${}_5 P_2$=4×3×2×1×5×4= 480通り
(解答終了)
隣り合うかどうかを問題文で判断して、テクニックを使い分けよう！
隣り合う: 隣り合うもの同士をグループ化。
隣り合わない: (1) 隣り合わない以外のものを先に並べて、(2) 隣り合わないものをその隙間に順序よく入れる。
こちらのまとめ記事でさらに詳しく解説しています！
同じものを含む順列
順番を考慮して、同じものを一列に並べる順列のこと。
順列の問題で、同じものを並べる時は、通常の順列公式${}_n P_r$は使えません。
✔︎${}_n P_r$が使えない理由
異なるn個のものから、r個を取り出して一列に並べるときの順列は、
${}_n P_r$＝ n ×(n-1)×(n-2)×…
通常の順列では、異なるn個のものからその何個からを取り出します。
つまり、順列の前提条件として、並べるものは全て違うものと区別しているのです。
例えば、３種類の違うケーキの選べ方。３種類のケーキから、３つを順番よく選んで並べるので、${}_3 P_3$です。
しかし、次のような場合は$P$が使えません。
同じチョコケーキが２つありますね。順列$P$の公式は、全て違うものを並べるときにしか使えないことを押さえておきましょう！
じゃあ、同じものの順列ではどうすればいいんですか？
専用の最強公式を使うんだ！
全体$n$個のうち、aが$p$個、bが$q$個、cが$r$個あるとき、これら$n$個全てを１列に並べる総数は、$\frac{n!}{p!q!r!}$通りです。
イチゴが１つ、チョコが２つなので、
- 全体の数$n$ = 1+2 = 3
- $p$ = イチゴの数 = 1
- $q$ = チョコの数 = 2
$\frac{n!}{p!q!}$ = $\frac{3!}{1!2!}$ = $\frac{3×2×1}{1×2×1}$ = 3通り
✔︎公式のなぜ
全体の数$n$をそれぞれの階乗($!$)で割る理由は、同じものの個数分だけ並び替えのパターンがあるからです。
例えば、２つの同じチョコの並び方を考えます。
この２つの区別されたチョコの並び方は、２つのものから２つ全てを取るので、${}_2 P_2$ = $2!$。
しかし、同じものを含む順列では、(チョコ1, チョコ2)と(チョコ2, チョコ1)は同じものなので、2個で１セット扱いです。
全体の数$n$から、それぞれの階乗$!$を割れば、同じものの並び替え分を取り除けます！
こちらのまとめ記事で問題の解き方などさらに詳しく解説しています！
円順列
異なるものを円形に並べたもの、またはその並べ方。
異なる$n$個のものを円形に並べる並べ方は、$n$個から1個を固定し、残りの異なる$n−1$の順列として、$(n−1)!$通り。
✔︎公式のなぜ
円順列で、$(n−1)!$通りとなるのは、ある１種類を固定してそれ以外の順列を考えるから！
円順列の公式は、以下の２つのステップで成り立っています。
- 特定の１つを固定する
- 固定した以外のもので順列を考える。
例題を通して見れば一発で理解できるよ！このまま読み進めていこう！
男3人、女2人の合計5人が円形に座る時、全ての座り方は何通りあるか。
円順列では、回転して一致する並び方は全て同じと考えます。
そのため、まず1人の位置を固定します。
固定した後は、固定した以外のものの順列を考えるだけです。
5人の円順列のうち、1人を固定したので残り4人の並べ方を考えます。
4人の並べ方は、色々なパターンがあります。
このような感じで！これを数学的に考えます。
固定していない4人から4人全員を選んで並べるので、欲張りな階乗を使って$4!$。
２つ以上のものから、その全部を取る場合は階乗(!)が使えたね！
4人($n$)から4人($r$)を順序よく選んで、${}_4 P_4$としてもいいですが、${}_4 P_4$と$4!$は同じですよね。
- ${}_4 P_4$ = 4×3×2×1 = 24
- $4!$ = 4×3×2×1 = 24
順列${}_n P_r$のnとrが同じ！「わお！びっくり！」のビックリマーク(!)階乗で覚えよう！
5人が円形に並ぶ円順列をまとめると、
5人の円順列 ＝ 固定した人以外の並び方
= $(5−1)!$ = $4!$ = 24通り
(解答終了)
円順列では、ある1人(1種類)を固定するので、固定したもの以外の順列を考えます。そのため、5人の円順列でも、固定した1人を除く(5−1)! = $4!$通りになります。
こちらの記事で円順列をさらに詳しく解説しています！
じゅず順列
円形に並べた円順列の内、反転して一致するものをじゅず順列と言います。
- 円順列: 異なるものを円形に並べた順列。
- じゅず順列: 円順列のうち、裏返して並び方が一致するものを同じと考える順列
円順列とじゅず順列の大きな違いは、裏返した場合をどう数えるか。
円順列では、裏返して一致するものを違うものとします。しかし、じゅず順列では裏返して一致するものを同じものとして数えます。
例えば、以下の並べ方は円順列では違うものです。
同じ5種類の玉をABCDE使っていますが、並び方が違います。そのため、円1と円2は違うのものなので、円順列は合計2通りです。
しかし、じゅず順列ではこれが1通りになります。
円1をAの部分を軸として反転させると、円2と全く同じ並びになるからです！これを、じゅず順列では区別せずに、2個を１つのセットとして1通りと数えます。
このじゅず順列の考えを公式にしたものがこちらです。
異なる$n$個のものを並べるじゅず順列は、
$\frac{(n−1)!}{2}$通り
✔︎公式のなぜ
この公式の意味を一言で言ってしまえば、「円順列を２」で割るです。
円順列の解き方は、１つを固定して固定したもの以外で順列を考えました。そのため、円順列は(n−1)!通りです。
その円順列を２で割ることで、円順列で違うものと区別されている２つを１つにできます。
✔︎じゅず順列のサインを見逃すな！
基本的にじゅず順列の見分け方は、問題文にあるキーワードです。以下に頻出のキーワードをいくつかあげておきます。
- 腕輪
- ブレスレット
- 首飾り
- あるものをじゅず状に並べる
- 穴を開けた玉にひもを通して輪を作る
- 特定の人・物A, Bを区別しないとき
このようなキーワードを問題文で発見したら、じゅず順列の公式で場合の数を求めましょう。
問題を通して、公式の使い方をマスターしよう！
6人の学生が円形に座るとき、学生A, Bの2人を区別しない座り方は何通りあるか。
「特定の人を区別しない」とあるので、じゅず順列の問題と判断します。
じゅず順列の公式$\frac{(n−1)!}{2}$を使うために、
- まず通常の円順列$(n−1)!$を求める。
- 求めた円順列を２で割る。
通常の円順列は、6人のうち1人を固定してそれ以外の5人の並べ方を考えます。6人ABCDEFの内、Aを固定します。
5人の学生BCDEFの並び方は$(6−1)!$ = $5!$通りです。後は、この円順列を２で割ってじゅず順列にします。
求めるじゅず順列 = $\frac{5!}{2}$ = $\frac{5×4×3×2×1}{2}$ = 60
2人の学生を区別しないじゅず順列は60通り。
（解答終了）
大学入試で出るじゅず順列には、さらに難問の同じものを含むじゅず順列があります。
こちらのじゅず順列まとめ記事より確認できます！
組分け
ある$n$個のものを何組みかに分ける分け方、または分け方の総数。
例えば、運動会での赤組、白組の２つのチーム。
組分けでは、ある人数を赤組、白組の２つの組に分ける時の分け方の総数を求めます。
組分けを求める際は、組合せ公式$(C)$を使います。
異なるn個からr個を取り出した時の総数は、
${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
なぜ組合せの公式を使う？
組分けでは、順番を考慮せず一列に並べないからです。
例えば、6人の園児を赤組、白組の各組に３人ずつ分ける通りを考えます。
この6人の園児をA, B, C, D, E, Fと名前をつけます。
組分けで順番を気にしない１番の理由は、例え赤組に(A, B, C)でも、(B, C, A)でも、それらは同じ3人の園児ABCから成り立っているからです。
そのため、(A, B, C)も(B, C, A)も同じとみなします。
また、組分けでは一列に並べたりもしません。そのことからも、順列ではなく組合せを使います。
実際に組分け問題を解いてみよう！
以下の２ステップで、6人の園児を3人ずつ赤組、白組に分けます。
- 6人中3人を赤組に入れる
- 残った3人を白組に入れる
ABCDEFの異なる6人から、3人を選ぶ組分けなので、${}_6 C_3$です。
次に残った全体3人から、3人を選んで白組にするので、${}_3 C_3$です。
${}_3 C_3$＝１なので、計算式で書かなくてもいいです！
あとは、これらを積の法則でまとめます。
6人を赤組白組に分ける通り
= 6人から3人を赤組 × 残り白組
= ${}_6 C_3$(×${}_3 C_3$) = $\frac{6×5×4}{3×2}$(×$\frac{3×2×1}{3×2×1}$) = 20通りです。
(解答終了)
組分けでは「区別」が大事！
- 区別がある: 問題文にA, B, Cの３組に分けるなどすでに各組に名前がある。
- 区別がない: 分ける人数が同じかつ組に名前がない。
組分けの「区別」とはどういうことでしょう。
例えば、コンビニでアルバイトをしているAさんとBさん。
AさんもBさんも同じコンビニという業種のです。
業種いう点では、AさんもBさんも同じコンビニで区別できません。
では、以下のような場合ではどうでしょう。
同じコンビニでも、Aさんはセブンイレブン、Bさんはファミリーマート。同じコンビニでも、違う種類なので区別できます。
以下のような場合も同様に区別できます。
AさんもBさんも同じくローソンで勤務しています。しかし、働く店舗が違います。新宿店のAさん、六本木店のBさんと違いを明確にできます。
- 区別なし: Aさん、Bさんコンビニ勤務。
- 区別あり: Aさんは新宿店、Bさんは銀座六本木店。
組分けで「区別」が大事な理由は、組に名前がなく、分ける人数が等しい時に見分けが付かなくなるからです。
まだ理解できてなくても大丈夫！次の例題を見れば完全に理解できるようになるよ！
4人(ABCD)を次のように分ける時、分け方は全部で何通りあるか。
- 4人を2人ずつ新宿店、銀座六本木店に分ける
- 4人を2人ずつの2組に分ける
✔︎2人ずつ新宿店、六本木店に分ける
同じローソンでも、店舗名があるので区別できます。
新宿店(AC)、銀座六本木店(BD)を選んだとします。仮に(AC)を六本木店にすると、これは違う店舗への移動です。
つまり、店舗名があるので新宿(AC), 六本木(BD)と新宿(BD), 六本木(AC)は全く違うものです。
では、場合の数を求めましょう。
考え方としては、まず4人中2人を新宿店に選び、残った2人を銀座六本木店に選びます。
${}_4 C_2$×${}_2 C_2$ = $\frac{4×3}{2×1}$×$\frac{2×1}{2×1}$ = 6通り
(解答終了)
✔︎4人を2人ずつの2組に分ける
分ける組に名前がなく、同じ人数を平等に分けるので区別できません。
先ほどと違い店舗名がなく、(AC), (BD)と(BD), (AC)を区別できません。つまり、(AC), (BD)と(BD), (AC)は同じです。
区別のできない組分けは、区別あるものとして計算して、組の数の階乗で割れ!
なんで階乗で割るのかも説明するよ！このまま読み進めて下さい！
先ほどのように新宿店と六本木店という区別があるものとしてまず計算します。
求めた場合の数は、${}_4 C_2$×${}_2 C_2$ = 6通りでした！
しかし、区別がない組分けなので名前を取り除きます。
すると、同じ色同士(赤青黄)のペアが重複しているのが分かります。
(AB)(CD)も(CD)(AB)も同じものなので、2個１セットで同じものとします。そのため、同じペアを取り除きます。
この同じペアを取り除く作業が、階乗で割る部分です。
- 階乗で割る＝区別のない同じペアを取り除く
２つの組新宿店と銀座六本木店の並び替えを考えます。２つのものから、２つ全てを取って並べるので、全てを取る欲張りの階乗で$2!$です。
後は、区別のあるものとして計算した6通りを$2!$で割ります。
$\frac{6}{2!}$ = $\frac{6}{2×1}$ = 3通り
さらに詳しく組分けを知りたい方はこちらを！
最後に: 場合の数まとめ
いかがだったでしょうか？
本記事では、場合の数でも大学入試に最頻出の項目を全て解説しました。
さらに各項目の関連記事も読むことで場合の数をマスターできます。
本日のまとめは以下の通りです。
- 場合の数: 起こりうるパターンの総数
- 樹形図: 場合の数を、効率よく数えあげるテクニック。
- 和の法則: ２つ以上の物事が同時に起こらない時、足し算して場合の数を求める。
- 積の法則: ２つ以上の物事が同時に起こる時、かけ算して場合の数を求める
- 順列: ２つ以上の異なるものを、順序よく一列に並べる方法。
- 階乗: あるもの全てを取って並べる。
- 組み合わせ: 順番を考慮しない順列。
- 条件付き順列: 並び方に条件のある順列。
- 重複順列: 同じものを繰り返し使う順列。
- 隣り合う順列: 隣り合うものを１つに!
- 隣り合わない順列: 隣り合わない以外のものを先に並べて、その隙間に！
- 同じものを含む順列: 公式$\frac{n!}{p!q!r!}$を使え！
- 円順列: １つを固定して、それ以外の順列
- じゅず順列: 通常の円順列を２で割る
- 組分け: 「区別」を判断して、Cを使え！
本日もお疲れ様でした！
「場合の数」で何を勉強すればいいのか分からん! 入試に出るポイントだけ網羅したい！