お疲れ様です！文系数学のダイです！
円順列との違いって何？問題になったら解けなくなる…
今日はこのような疑問にお答えしていきます！
一般的な数珠順列の定義はこれです。
じゅずを裏返して同じ円順列になるもの。
……うん！
絶妙に何言ってるか分からないですよね？笑
ってことで、具体例を使って数珠順列を解説していきます！
目次
ブレスレットで数珠順列を説明してみた
円形に並べた円順列のうち、裏返して並び方が一致するものを同じと考える順列。
- 英語: necklace permutation
- 意味: ネックレスの順列
- 読み方: ネックレス パーミュテーション
数珠順列で押さえるべきポイントは、まず物事の数え方です。
円順列と比較すると分かりやすいよ！
- 数珠順列: 円を反転して並び方が一致するものは2つで1セット。
- 円順列: 円を反転して並び方が一致しても違うもの。
例えば、3つの玉A,B,Cを円状に並べて腕輪を作ります。
ここでブレスレットを作る通りが何通りあるか考えてみよう!
結論から言うと、腕輪の円順列は2通り。でも、数珠順列は1通りだけ！
ここで、数珠順列を考えます！
数珠順列は、円順列のうち反転して並び方が一致するものです！
つまり、この２つの円順列の「どちらか1つを裏返してもう一方の円になるか」を確認するんですね！
あっ！円1(B<A>C)を裏返すと、円2(C<A>B)の並び方になりましたね！
その通り！だから、ここでの数珠順列は円順列を2つで1セットと考えるから1通りなんだ！
３つの玉A, B, Cを円状に並べる順列。
- 円順列: B<A>CとC<A>Bは全く違う!
- 数珠順列: B<A>CとC<A>Bは、反転すると一致するので同じ！
数珠順列の公式: なぜ2で割る
異なる$n$個のものの数珠順列の総数は、$\frac{(n−1)!}{2}$通り。
円順列$(n−1)!$を２で割るとじゅず順列になる？なんで？
ケーキを使って説明してみた
数珠順列で円順列$(n−1)!$を２で割る理由。
一言で言うと、2つの円順列を1つとして数えているからです！
例えば、ここに同じチョコケーキが2つあります。
ケーキの個数は2個ですが、同じチョコケーキなので１種類しかありません。
これを計算で求めてみます。
2個で1つのセットなので、2で割ると１種類になるよね！
これって実は、数珠順列の考え方と同じなんです！
円順列で区別した2つのものを、数珠順列では同じものとして考えて1つとして数えます。
さっきのブレスレットの作り方をもう一度見てみよう！
3つの玉A,B,Cを円状に並べてできるブレスレットはいくつあるか。
- 数珠順列: $\frac{(n−1)!}{2}$通り。
A,B,Cの3つの球の数珠順列なので、
$\frac{(n−1)!}{2}$＝$\frac{(3−1)!}{2}$＝$\frac{2!}{2}$=1通り!
同じ2つのチョコケーキのように、同じ2つの円順列を2で割ると数珠順列になるんですね！
円順列では、区別した2通りを数珠順列では1つとして数えるため!
数珠順列の解き方: 2つのステップ
- 公式$(n−1)!$で円順列求める
- 求めた円順列を2で割る
下の例題を使って、それぞれのステップを具体的に見ていこう！
異なる４色の玉A,B,C,Dにひもを通してネックレスを作る時、作り方は何通りあるか。
まず円順列を求める
まず、異なる4食の玉の円順列を求めます。
円順列の解き方は、並べる１種類を固定することです！
Aを固定して残り3つのB,C,Dも並び方なので、$(4−1)!$通り。
$(4−1)!$＝3!＝6通り！
求めた円順列を2で割る
最後に、上記のステップで求めた円順列を2で割ろう！
数珠順列＝$\frac{求めた円順列}{2}$＝$\frac{6通り}{2}$＝3通り
(解答終了)
実際に6通りの円順列を反転させて3通りになるか見てみましょう！
- 円1を反転させると円4になる!
- 円2を反転させると円5になる!
- 円3を反転させると円6になる!
反転させて並び方が一致する円順列を取り除きます。すると、残る数珠順列は3通りになる!
数珠順列では、円順列のうち裏返して並べ方が一致するものは同じため2で割る!
- 通常の円順列を求める
- 求めた円順列を2で割る
数珠順列の見分け方
問題で出題される数珠順列は、たいてい問題文のキーワードで数珠順列の問題かどうか判断できます!
以下に紹介するキーワードを覚えよう！
✔︎問題文での数珠順列のキーワード
- 腕輪
- ブレスレット
- 首飾り、ネックレス
- あるものを数珠上に並べる
- 穴を開けた玉にひもを通して輪を作る
- 特定の人/物A, Bを区別しないとき
これらのキーワードを問題文で見たら数珠順列を疑うんですね！
数珠順列の入試問題にチャレンジ
最後に、数珠順列の入試問題を解いていこう！先ほど説明した解き方の2ステップで解いてみよう！
- 公式$(n−1)!$で円順列求める
- 求めた円順列を2で割る
首飾りの作り方
上のような異なる８色の玉で首飾りを作る時、次の場合の数を求めよ。
- 作り方の全通り。
- 青玉と緑玉が隣り合う。
問題文に数珠順列のキーワード「首飾り」がありますね！この問題は数珠順列で解けますね！
①８色の球でできる数珠順列
通常の円順列を求めて、2で割ろう！
✔︎ステップ1: 円順列を求める
異なる８色の球の円順列なので、
求める円順列＝$(8−1)!$
= 7! = 7×6×5×4×3×2×1＝5040通り!
✔︎ステップ2: 2で割る
求めた円順列を2で割ります。
数珠順列＝$\frac{円順列}{2}$
= $\frac{5040}{2}$ = 2520通り!
(解答終了)
公式を使って、$\frac{(8−1)!}{2}$＝2520通りでもOK! ここでは、万が一公式を忘れてしまった時を想定して２ステップで解いていきます！
②青玉と緑玉が隣り合う
隣り合う並べ方は、隣り合うもの同士を1つのグループにまとめよう！
詳しい解き方はこちらを要チェック！
青玉と緑玉を１つのグループにしたので、全体の玉の数が8→7へ減少します！
よって、7個の球の円順列は(7−1)!通り。
首飾りを作る数珠順列なので、2で割るんですよね！
7個の球の数珠順列＝$\frac{(7−1)!}{2}$
グループ内の青玉と緑玉の並べ方も忘れないように！
（青玉ー緑玉）と（緑玉ー青玉）の２パターンですね！
求めた全ての値を積の法則で、
数珠順列＝$\frac{円順列}{2}$×青, 緑玉の並べ方
＝$\frac{(7−1)!}{2}$×2＝6!＝720通り
(解答終了)
向かい合う数珠順列
穴を開けた異なる６色の玉にひもを通して輪を作る時、次の場合の数を求めよ。
- 輪を作る全ての通り。
- 黒玉と赤玉が向かい合う通り。
①輪を作る全ての通り
円順列を求めて、求めた円順列を2で割ろう！
６色の玉の円順列は、1つの球を固定するので$(6−1)!$通り。
求めた円順列を2で割ります。
数珠順列＝$\frac{(6−1)!}{2}$＝$\frac{5!}{2}$＝$\frac{5×4×3×2×1}{2}$
= 60通り
（解答終了）
②黒玉と赤玉が向かい合う通り
向かい合う数珠順列は、以下の２ステップで解こう！
- 向かい合うもの同士を先に並べる。
- 先に並べた以外のもので順列を考えて2で割る。
さらに詳しい解き方はこちらを要チェック！
✔︎ステップ1: 向かい合うもの同士を並べる
向かう合う黒玉と赤玉の並べ方を先に考えるんですね！
まず、黒玉を固定します。
すると、赤玉は黒玉の真下にしか置けません。そのため、赤玉の並び方は1通りです。
✔︎ステップ2: 先に並べた以外のもので順列
最後に、先に並べた黒玉と赤玉以外の並べ方を求めよう！
残り4つの玉の並べ方なので、$4!$通り。
数珠順列なので、2で割ると$\frac{4!}{2}$
求めた全ての値を積の法則で、
向かい合う数珠順列は、
＝黒玉, 赤玉の並べ方×残り4つの玉の並べ方
＝1通り×$\frac{4!}{2}$＝$\frac{4×3×2×1}{2}$＝12通り
（解答終了）
- 向かい合うもの同士を先に並べる。
- 先に並べた以外のもので順列を考えて2で割る。
最後に: 数珠順列まとめ
いかがだったでしょうか。
数珠順列の基本が理解できたら、こちらの記事から数珠順列の応用問題にもチャレンジ！
また、こちらの記事では入試や定期試験に出る全ての順列を解説しています！
本日のまとめを以下に書いておきます！
- 数珠順列: 円順列の内、裏返して並び方が一致するもの。
反転して並び方が一致する円順列は、数珠順列では2つで1セットとして数える!
- 円順列: B<A>CとC<A>Bは全く違う!
- 数珠順列: B<A>CとC<A>Bは同じ！
- 数珠順列の公式: $\frac{(n−1)!}{2}$通り
円順列を2で割ると数珠順列になる！
- 数珠順列の解き方
①通常の円順列を求める。
②求めた円順列を2で割る。
- 問題文のキーワードで数珠順列の問題を見分けよ!
数珠順列の公式の意味が分からない! なんで２で割るの？