お疲れ様です！文系数学ラボのダイです！
同じものを含む数珠順列が簡単に解けるコツや出題パターンを知りたい！
今日はこのような疑問にお答えします!
同じものを含む数珠順列は、数珠の公式$\frac{(n−1)!}{2}$が使えないため、解き方に工夫が必要です。
でも、入試に出る数珠順列(同じもの)の2パターンしかない！本記事で紹介するパターン別の解き方を覚えよう！
さらに、数珠順列(同じもの)専用の最強公式も完全公開しています！
目次
復習: 2分で分かる数珠順列の解き方!
数珠順列の基礎が大丈夫な人は、次の同じものを含む数珠順列の解き方にいこう！
異なる4色の玉を使ってできるネックレスの総数を求めよ。
- 4個の玉の円順列＝$(4−1)!$通り
- 円順列を2で割る＝$\frac{(4−1)!}{2}$＝$\frac{3!}{2}$＝3通り
よって、求める数珠順列は、3通り。
- 異なるものの数珠順列は、円順列$(n−1)!$を2で割る！
同じものを含む数珠順列は、円順列を2で割っても解けない。次に紹介する専用の公式や解き方を押さえよう！
同じものを含む数珠順列(例:赤玉2個、青玉3個)は、円順列を反転しても同じ円順列になる。そのため、円順列を2で割っても数珠順列にはならない。
数珠順列(同じもの): パターン別解法
入試に出る同じものを含む数珠順列は、2パターンしかありません。
- 並べるものを固定できるパターン
- 並べるものを固定できないパターン
それぞれのパターンにあった解き方を徹底解説します！
①固定できるパターン
青玉1個、赤玉2個、緑玉4個で作れるネックレスはいくつあるか。
1個しかないもの(青玉1個)がある時、それを先に固定せよ！
1個しかない仲間はずれの玉がある時は、それを固定すれば簡単に解けます。
- 1個しかない仲間はずれ固定。
- 円順列(同じもの)を求めて、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
ここでは、円順列を求めます。
同じものを含む円順列の公式: $\frac{円順列(n−1)!}{同じものの個数}$を使います。
円順列を同じものそれぞれの個数分の階乗で割る。
7個の玉の同じものを含む円順列は、
$\frac{(7−1)!}{4!2!}$＝$\frac{6!}{4!2!}$＝$\frac{6×5×4×3×2}{4×3×2×2}$＝15通り
$4!$＝緑玉の個数、$2!$＝赤玉の個数の階乗。
円順列(同じもの)の総数を求めて、左右対称型と非対称型に分けよう！
- 左右対称＝中心軸に対して左と右の玉の並びが一致。
- 左右非対称＝中心軸に対して左と右の玉の並びが違う。
実際に円順列をいくつか書いてみて、左右対称型からいくつあるか調べます！
- 円順列(同じもの)＝15通り。
全体１５通りのうち、
- 左右対称型＝3通り
- 左右非対称型＝15−3＝12通り
左右対称方の総数が分かれば、全体から左右対称を引いて、左右非対称の個数を求められます。
試験では時間制限があるので、書く円順列は左右対称型だけにしよう！
左右対称と非対称の内訳を求めたら、同じもの数珠順列の最強公式に代入しよう！
- 左右対称型＝3通り
- 左右非対称型＝12通り
円順列(同じもの)の総数を求めて、左右対称と非対称に分けて、
- (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$通り。
②固定できないパターン
赤玉4個、青玉3個で作れるネックレスはいくつあるか。
先ほどの問題とは違って、1個しかないものがありません。
この場合、赤玉か青玉のどちらかを固定しても、回転すると同じ並び方が出てくるので計算できない!
1個しかないものが存在しない場合、個数の少ないものを中心に並べ方を考える。
- 個数の少ない玉を中心に円順列(同じもの)を求める。
- 求めた円順列(同じもの)を、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
ここでは、個数の少ない青玉を基に7つの玉の並び方を考えます。
ポイントは、青玉それぞれの間にいくつ赤玉が並ぶか。
青玉それぞれの隙間を、$X$, $Y$, $Z$とする。
青玉は全部で4個なので、$X$+$Y$+$Z$＝4。
✔︎青玉の隙間に入る赤玉のパターン
($X$, $Y$, $Z$)とすると、以下の5パターンの円順列(同じもの)が考えられます。
- (4, 0, 0)
- (3, 1, 0)
- (0, 3, 1)
- (2, 1, 1)
- (0, 2, 2)
②左右対称型と左右非対称型に分ける
円順列(同じもの)は全部５通りと分かったので、細かな内訳を見ていこう！
まずは、左右対称型の個数を求める。そして、全体−左右対称＝左右非対称の数ですね！
左右対称型は、中心軸を引いた時に左右の並べ方が同じもの！よって、上の３通りです。
左右非対称は、５通り(全体)−３通り(左右対称)＝2通りです！
円順列(同じもの)の内訳が分かったので、最強公式に代入しよう！
円順列(同じもの)の総数を求めて、左右対称と非対称に分けて、
- (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$通り。
- 円順列(同じもの)＝5通り。
全体５通りのうち、
- 左右対称型＝3通り
- 左右非対称型＝2通り
(解答終了)
- 個数の少ない玉を中心に円順列(同じもの)を求める。
- 求めた円順列を、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$に代入!
この固定できないパターンは、地道に並び方を考えます。難問のため、試験で時間がない時は、後回しOK!。
数珠順列(同じもの): 応用問題3選
固定できるパターン①
赤玉2個、青玉1個、黒玉1個で作れるブレスレットはいくつあるか。
個数が1つしかない仲間はずれの玉がありますね！
青玉もしくは黒玉のどちらかを固定して、以下のステップで解こう！
- 1個しかない仲間はずれ固定。
- 円順列(同じもの)を求めて、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
ここでは、黒玉を固定します！
固定した後は、同じものを含む円順列の総数を求めよう！
4つの玉の円順列(同じもの)は、
$\frac{(4−1)!}{1!2!}$＝$\frac{3!}{1!2!}$＝$\frac{3×2}{1×2}$＝３通り
1!＝青玉の個数、2!＝赤玉の個数の階乗
✔︎4つの玉の数珠順列(同じもの)の内訳
全体で３通りの円順列(同じもの)
- 左右対称型＝１通り
- 左右非対称型＝２通り
③最強公式に代入
✔︎公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
１＋$\frac{2}{2}$＝２通り
(解答終了)
固定できるパターン②
赤玉4個、青玉3個、黒玉1個で腕輪を作る時、作り方は何通りあるか。
黒玉1個が仲間はずれ！黒玉を固定ですね！
固定した後は、円順列(同じもの)を求めよう！
これを計算すると、
$\frac{(7−1)!}{3!4!}$＝$\frac{6!}{3!4!}$＝$\frac{6×5×4×3×2}{3×2×4×3×2}$＝35通り
円順列(同じもの)の総数を求めたら、細かな内訳を見ていこう！左右対称型から見ていこう！
✔︎8つの玉の数珠順列(同じもの)の内訳
全体で35通りの円順列(同じもの)
- 左右対称型＝3通り
- 左右非対称型＝35-3＝32通り
③最強公式に代入
✔︎公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
3＋$\frac{32}{2}$＝19通り
(解答終了)
難: 固定できないパターン②
赤玉6個、青玉3個でできるネックレスはいくつあるか。
1個しかないものが存在しない場合、個数の少ないものを中心に並べ方を考える。
- 個数の少ない玉を中心に円順列(同じもの)を求める。
- 求めた円順列(同じもの)を、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
個数の少ない赤玉を基に9つの玉の並び方を考えます。
赤玉それぞれの隙間を、$X$, $Y$, $Z$とする。
青玉は全部で4個なので、$X$+$Y$+$Z$＝6。
✔︎赤玉の隙間に入る青玉のパターン
($X$, $Y$, $Z$)とすると、(6, 0, 0), (5, 1, 0), (5, 0, 1),(4, 2, 0), (4, 0, 2), (3, 3, 0), (4, 1, 1), (3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 2, 2)
これら10通りあります。
②左右対称型と左右非対称型に分ける
円順列(同じもの)の総数が分かったので、細かな内訳を見ていこう！
✔︎左右対称: 中心軸の右と左の並べ方が同じ。
そのため、$X$+$Y$+$Z$のうち、2つ以上が同じ個数並べられているものになります。
例えば、($X$, $Y$, $Z$)＝(6, 0, 0)は、同じ0個が2つあるので左右対称です。
✔︎左右対称は、2つ以上が同じ個数のもの!
($X$, $Y$, $Z$)のうち、
(6, 0, 0), (3, 3, 0), (4, 1, 1), (2, 2, 2)
これら4通りあります。
- 全体−左右対称＝左右非対称
10(全体)−４(左右対称)＝6通り
最後に、専用公式に左右対称、非対称の個数を代入しよう！
- 円順列(同じもの)＝10通り。
全体10通りのうち、
- 左右対称型＝4通り
- 左右非対称型＝6通り
③最強公式に代入
✔︎公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
4＋$\frac{6}{2}$＝7通り
(解答終了)
最後に: 数珠順列の応用まとめ
いかがだったでしょうか？
本日のまとめはこちらです。
- 固定できるパターン
- 1個しかない仲間はずれ固定。
- 円順列(同じもの)を求めて、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
- 固定できないパターン
- 個数の少ない玉を中心に円順列(同じもの)を求める。
- 求めた円順列(同じもの)を、左右対称型と左右非対称型の2組に分ける
- 公式: (左右対称型)＋$\frac{(左右非対称型)}{2}$
こちらの記事も合わせて読むことで、入試頻出の他の順列全てを押さえることができます。
青玉4個、赤玉3個の数珠順列… 円順列を2で割っても解けない…