どうも！文系数学コーチのダイです！
組分けは、なんで階乗で割るの？重複順列との違いは何？
今日はこのような疑問にお答えしていきます！
入試に出る組分けは、主に2パターンです!
本記事で紹介するパターン別の解き方を覚えれば、組分けは簡単に解けるよ！
目次
組分けとは？
定義とイメージ
ある$n$個のものを何組みかのグループに分ける分け方、または分け方の総数。
例えば、運動会の赤・白組のチーム分け。
男女40人のチームを赤組と白組の2チームに分ける分け方を組分けを使って求められるんだ！
組分けは、組み合わせを使って求めます。
- 物事の選び方のこと。
異なるn個からr個を選ぶ方法の総数${}_n C_r$
- 公式: ${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
- ${}_n C_r$は、エヌ・シー・アールと読む。
- $C$は、英語のCombinationの略。
なぜ組み合わせの公式を使う？
組分けは、ただ選ぶだけで順番を考慮しないから！
*順番を考慮する並び方は、順列です。
下の例題で詳しく見ていこう！
6人の園児を赤組、白組の各組に3人ずつ分ける方法はいくつあるか。
6人の園児に、A, B, C, D, E, Fの名前をつけます。
仮に、赤組にA,B,Cの3人を選んだとして
- 赤組: (A, B, C)
- 赤組: (B, C, A)
これら2つの選び方に違いはあるでしょうか？
同じ3人の園児A,B,Cを選んでいるだけなので、(A, B, C)も(B, C, A)も同じですね！
組分けは、順番も考慮しないし、一列に並べることもない！だから、組み合わせCを使うんだ！
順番を考慮する順列と組み合わせの違いはこちらを参考に！
組分けの求め方
じゃあ、実際に例題を組み合わせCを使って解こう！
✔︎6人を赤・白組に3人ずつ分ける方法
- 6人中3人を先に赤組に分ける。
- 残った3人を白組に分ける。
ABCDEFの6人から3人を選ぶので、
赤組に選び方＝${}_6 C_3$通り。
残った3人を白組に分けるので、
白組の分け方＝${}_3 C_3$通り。
最後に、求めた全ての値をかけ算でまとめよう！
赤白の2組に分ける＝赤組の分け方と白組の分け方の2つが同時に起こるため、積の法則！
求めた全ての値を積の法則で、
赤白の2組に3人ずつ分ける方法は、
＝赤組の分け方×白組の分け方
＝${}_6 C_3$×${}_3 C_3$＝$\frac{{}_6 P_3}{3!}$×$\frac{{}_3 P_3}{3!}$＝$\frac{6×5×4}{3×2}$×$\frac{3×2}{3×2}$
＝20通り
(解答終了)
- 組み合わせ公式: ${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
詳しいCの計算方法やコツはこちらから！
組分け: 入試出題2パターンと解き方
- 区別がある: A, B, Cなど分ける組に名前がある。また、分ける人数が異なる。
- 区別がない: 分ける人数が同じかつ組に名前がない。
組分けは、区別があるか否かによって解き方が変わってきます。
本記事で推奨するそれぞれのパターンにあった解き方を押さえよう！
区別ありパターン
4人(A,B,C,D)を次のように分ける方法はいくつあるか。
- 4人を2人ずつA,Bの2組に分ける。
上の例題のように、分ける組に名前(A,Bの2組)がある場合を、区別ありと言います。
「区別あり」の問題は、シンプルに組み合わせCを使って簡単に解けます。
- 公式: ${}_n C_r$ = $\frac{{}_n P_r}{r!}$
4人をA,Bの2組に分けるので、
- 4人のうち2人をA組に選ぶ
- 残った2人をB組に選ぶ
この２ステップで解けます。
- 4人から2人をA組＝${}_4 C_2$
- 残った2人をB組＝${}_2 C_2$
求めた値を積の法則でまとめます。
4人をA,Bの2組に分ける方法は、
＝4人の内2人をA組×残った2人をB組
＝${}_4 C_2$×${}_2 C_2$＝$\frac{{}_4 P_2}{2!}$×$\frac{{}_2 P_2}{2!}$
＝$\frac{4×3}{2}$×$\frac{2}{2}$＝6通り
(解答終了)
- 区別あり＝分ける組に名前がある、もしくは分ける人数が異なる。
*組み合わせCを使って解ける！
区別なしパターン
4人(A,B,C,D)を次のように分ける方法はいくつあるか。
- 4人を2人ずつの2組に分ける。
先程の問題と違って、分ける組に名前がないです。さらに、分ける人数が同じ。
この2つの条件が揃った時は、「区別なし」パターンだ！
分ける組に名前がある場合は、区別できます。
例: A,B,C,Dの4人を赤白の2組に分ける。
- 赤組:(A,B)ー白組:(C,D)
- 赤組:(C,D)ー白組:(A,B)
分ける組に名前があるので、(A,B)の順番が変わると所属する組が変化します。
では、以下の場合はどうでしょう。
- (A,B)-(C,D)
- (C,D)-(A,B)
分ける組に名前がないので区別できない。
つまり、①も②も同じ分け方とみなします。
組に名前がなく分ける人数が等しい時に見分けが付かなくなる!
区別なしパターンは、下の２ステップで解こう！
- 区別ありとして組み合わせCで場合の数を求める。
- 区別をなくすために、求めた場合の数を分ける組数の階乗で割る。
✔︎ステップ1: 区別ありとして計算
A,B,C,Dの4人を2人ずつ2組に分ける。
区別なし問題ですが、ここでは区別あるものとしてまず計算しよう！
仮に分ける2組をA組、B組とします。
- 4人から2人をA組＝${}_4 C_2$
- 残った2人をB組＝${}_2 C_2$
4人をA,Bの2組に分ける方法は、
＝4人の内2人をA組×残った2人をB組
＝${}_4 C_2$×${}_2 C_2$＝$\frac{{}_4 P_2}{2!}$×$\frac{{}_2 P_2}{2!}$
＝$\frac{4×3}{2}$×$\frac{2}{2}$＝6通り
先ほど解いた区別ありパターンの問題と同じですね！
✔︎ステップ2: 分ける組数の階乗で割る
区別ありとして計算したものを、ここでは「区別なし」に戻します！
その方法は、分ける組数の階乗で割る！
4人を区別の付かない2組に分けるので、
- 分ける組数の階乗＝$2!$
求めた場合の数を$2!$で割ると、
区別なし＝$\frac{区別ありパターン}{分ける組数の階乗}$＝$\frac{6通り}{2!}$＝3通り
(解答終了)
なぜ階乗で割るのか
それは、重複して数えているものを階乗で割ることで取り除けるから！
区別ありとして4人の分け方を考えると6通り。
ここで、分ける組の名前を消して区別なしパターンにします。
すると、同じ色同士(赤青黄)のペアが重複しているのが分かります。
組に区別がないと、(A,B)-(C,D)と(C,D)-(A,B)の見分けが付かない!
そうなんだ！じゃあ、同じ色同士の重複ペアは同じなので、2つで1セットとして数える。
- (A,B)-(C,D)と(C,D)-(A,B)は2つで1つ!
- (A,C)-(B,D)と(B,D)-(A,C)は2つで1つ!
- (A,D)-(B,C)と(B,C)-(A,D)は2つで1つ!
すると、残るのは、3通り。
先ほどの分ける組数の階乗で割った答えと同じです。
$\frac{区別ありパターン}{分ける組数の階乗}$＝$\frac{6通り}{2!}$＝3通り
区別のできない組分けは、
- 区別あるものとして計算して、
- 分ける組数の階乗で割る!
区別あり→区別なしに戻すと、重複して数えた部分が出てくる。そのため、分ける組数の階乗で割るって重複分を取り除く！
重複順列との違い
- 組分け: 選び方に偏りがない。基本的に全ての組に一定数配置する。
- 重複順列: 選び方に偏りがある。誰もいない組があってもいい場合あり。
こちらの記事で、両者の違いを徹底解説しています！
組分けの入試問題3選
組分けの入試問題にチャレンジだ！
「区別あり・なし」どちらかを考えて、それぞれに合った解き方で攻略しよう！
部屋割りの問題
- 6人をA,B,Cの3つの部屋に2人ずつ分ける方法はいくつあるか。
- 6人を2人ずつ3つの組に分ける方法はいくつあるか。
①6人を2人ずつA,B,Cの部屋に分ける
分ける組にA,B,Cと名前がついているので、区別ありパターンですね！
6人を2人ずつ分けるので、
- 6人から2人を部屋Aに選ぶ。
- 残った4人から2人を部屋Bに選ぶ。
- 残った2人から2人を部屋Cに選ぶ。
これらを積の法則で掛け合わせて、
${}_6 C_2$×${}_4 C_2$＝$\frac{{}_6 P_2}{2!}$×$\frac{{}_4 P_2}{2!}$＝$\frac{6×5}{2}$×$\frac{4×3}{2}$＝90通り
（解答終了）
${}_2 C_2$=1なので、書かなくてもいい！
②6人を2人ずつ3組に分ける
分ける組に名前がなく、分ける人数も同じなので、「区別なし」問題です。
区別のできない組分けは、
- 区別あるものとして計算して、
- 分ける組数の階乗で割る!
②を区別ありとして計算したものが①です。
${}_6 C_2$×${}_4 C_2$＝$\frac{{}_6 P_2}{2!}$×$\frac{{}_4 P_2}{2!}$＝$\frac{6×5}{2}$×$\frac{4×3}{2}$＝90通り
この90通りを、分ける組数の階乗＝$3!$で割ります。
区別なし＝$\frac{区別ありパターン}{3!}$＝$\frac{90}{3×2}$＝15通り
（解答終了）
人数の組分け
- 7人を1人、2人、4人に分ける方法はいくつあるか。
- 8人を2人ずつ4つの組に分ける方法はいくつあるか。
- 8人を2人、2人、4人に分ける方法はいくつあるか。
①7人を1人、2人、4人に分ける
分ける組に名前はないですが、分ける人数が異なるので「区別あり」です！
A, B, Cなど分ける組に名前がある。また、分ける人数が異なる。
7人の分け方は、
- 7人から1人を選ぶ＝${}_7 C_1$
- 残った6人から2人を選ぶ＝${}_6 C_2$
- 残った4人から4人を選ぶ＝${}_4 C_4$
これらを積の法則で掛け合わせて、
${}_7 C_1$×${}_6 C_2$＝$\frac{{}_7 P_1}{1}$×$\frac{{}_6 P_2}{2!}$＝7×$\frac{6×5}{2}$＝105通り
（解答終了）
${}_4 C_4$=1なので省略します！
②8人を2人ずつ4つの組に分ける
分ける組に名前がなく、分ける人数も等しいので「区別なし」だ！
8人を2人ずつ4組に分ける方法は、
- 8人から2人を選ぶ＝${}_8 C_2$
- 残った6人から2人を選ぶ＝${}_6 C_2$
- 残った4人から2人を選ぶ＝${}_4 C_2$
- 残った2人から2人を選ぶ＝${}_2 C_2$
*${}_2 C_2$＝１は、計算で省略します。
これらを積の法則で掛け合わせて、
${}_8 C_2$×${}_6 C_2$×${}_4 C_2$＝$\frac{{}_8 P_2}{2!}$×$\frac{{}_6 P_2}{2!}$×$\frac{{}_4 P_2}{2!}$＝4320通り
分ける組数の階乗$4!$で割って、区別あり→区別なしにします。
区別なし＝$\frac{区別あり}{分ける組数の階乗}$＝$\frac{4320}{4!}$
＝$\frac{4320}{4×3×2}$＝180通り
（解答終了）
③8人を2人、2人、4人に分ける
分ける組に名前なし+分ける2組が(2人、2人)同じ人数で分けるので「区別なし」として解こう！
8人を分ける方法は、
- 8人から2人を選ぶ＝${}_8 C_2$
- 残った6人から2人を選ぶ＝${}_6 C_2$
- 残った4人から4人を選ぶ＝${}_4 C_4$
*${}_4 C_4$＝１は、計算で省略。
これらを積の法則で掛け合わせて、
${}_8 C_2$×${}_6 C_2$＝$\frac{{}_8 P_2}{2!}$×$\frac{{}_6 P_2}{2!}$＝$\frac{8×7}{2}$×$\frac{6×5}{2}$＝420通り
2組を同じ人数で分けるので、$2!$で割って、区別あり→区別なしにします。
区別なし＝$\frac{区別あり}{分ける組数の階乗}$＝$\frac{420}{2!}$＝$\frac{4320}{2}$＝210通り
（解答終了）
応用: 男女の組分け
男子7人、女子2人の計9人を3人ずつ3組に分ける方法はいくつあるか。ただし、どの組にも必ず男子がいるものとする。
分ける組に名前がなく、3人ずつと分ける人数も平等！「区別なし」問題です！
問題文には、どの組にも必ず男子がいるように分けると条件があります。
つまり、どの組にも少なくとも男子が1人いればOKってことだね！
男子がどの組にも1人以上いる3組の分け方は、以下の1通りだけです。
- （男, 男, 男),（男, 男, 女),（男, 男, 女)
区別ありとして9人を分けると、
- 男3人の組＝7人の男子から3人を選ぶ
- 男2人,女1人の組＝残った男子4人から2人+女子2人から1人
- 男2人,女1人の組＝残った男子2人から2人+女子1人から1人
*${}_2 C_2$=1と${}_1 C_1$=1は省略。
「区別あり」9人の分け方は、
${}_7 C_3$×${}_4 C_2$×${}_2 C_1$＝$\frac{{}_7 P_3}{3!}$×$\frac{{}_4 P_2}{2!}$$\frac{{}_2 P_1}{1!}$
＝$\frac{7×6×5}{3×2}$×$\frac{4×3}{2}$×$\frac{2}{1}$＝420通り
②男2人,女1人の組
③男2人,女1人の組
上の2つが区別の付かない組なので、求めた場合の数を$2!$で割ります。
区別なし＝$\frac{区別あり}{区別の付かない組の数}$＝$\frac{420}{2!}$＝210通り
（解答終了）
最後に: 組分けまとめ
いかがだったでしょうか？
本日のまとめはこちらです。
- 組分け: ある$n$個のものを何組みかのグループに分ける分け方、または分け方の総数。
- 組み合わせCの公式${}_n C_r$=$\frac{{}_n P_r}{r!}$を使って求める！
- 順番を考慮せずただ選ぶだけなので、組分けはCで解く！
- 組分けの2つの出題パターン
- 区別あり: 分ける組に名前がある。または、分ける人数が異なる。
- 区別なし: 分ける組に名前がなくて分ける人数が平等。
- それぞれのパターンの解き方
- 区別あり: そのまま組み合わせCで解く！
- 区別なし: 区別ありとして計算し、区別の付かない組の数の階乗で割る!
- 階乗で割る理由: 区別あり→区別なしに戻す際に、重複して数えている分を取り除くため！
さらにこちらの記事では、入試に出る「場合の数」の全項目の解き方や公式を完全公開しています！
これで君も、場合の数マスターだね！
組分けって何？どうやって解くの？