どうも、受験数学のダイです！
排反(事象)って何？逆に、「排反でない」の意味は？
排反事象の確率は、なんで足し算？排反の入試問題が解けない！
よし！じゃあ、この記事だけで排反事象を網羅的に徹底解説しよう！
入試に頻出の排反事象は、それ自体を理解するだけでは不十分です。
「いつ」「なんで」排反事象なのか、問題の中で判断する力が大切です。！
本記事で推奨する「排反」のイメージや考え方を使って、排反事象を理解しよう！
目次
排反事象とは？
サイコロを使って説明してみた
2つの事象A, Bが同時に起こらないこと。
排反を一言で言うと、2つの事象(結果)の関係性です。
2つの事象が同時に起こらない時、それらの事象を「排反」または「排反事象」であると言うんだ！
例えば、1個のサイコロを投げて、
- 事象A: 偶数の目が出る＝{2, 4, 6}
- 事象B: 奇数の目が出る＝{1, 3, 5}
これらの事象A, Bは同時に起きないので、排反です。
サイコロ1個では、偶数か奇数のどちら一方の事象しか起こらないよね。
例えば、2の目が出たら事象A:「偶数の目」の条件は満たせるけど、事象B:「奇数の目」は無理ですね。
このどちらか一方の事象だけ起きる、つまり2つが同時に起きないの意味が「排反」です！
もう1つ別の例を見てみよう！
次の事象が、排反事象かどうか答えよ。
裏表が出るコインを一枚投げて、
- 事象A: 表が出る
- 事象B: 裏が出る
コインを投げたとき「表」も「裏」も出ますよ！
排反事象のポイントは、２つの事象が同時に起こるか否かなんだ！
コイン一枚では、「表」か「裏」のどちらか一方しか出ません。
2つの事象は同時に起こらないから、「裏」「表」の事象は、排反だね！
実際、スポーツの試合で、コイントスをして「表」「裏」が同時に出たら混乱するよね！
どっちのチームが先攻か後攻かわからなくなりますよね。。
だから、コインを一枚投げて、
- 事象A: 表が出る
- 事象B: 裏が出る
これらの事象A, Bは、排反事象です。
2つの事象A, Bの同時に起きないこと。
独立との違い
排反は、2つの事象が同時に起こるかどうかの判断です。
さっきのサイコロの例を思い出してみよう！
例えば、1個のサイコロを投げて、
- 事象A: 偶数の目が出る＝{2, 4, 6}
- 事象B: 奇数の目が出る＝{1, 3, 5}
これらの事象A, Bは同時に起きないので、排反です。
でも、独立は事象ではなく、事象の結果を生み出す試行のことなんだ！
- サイコロを1回投げる。
- コインを2回連続で投げる。
- A,Bの2人がくじ引きを引く。
2つ以上の試行について、最初の試行が次の試行の確率を変化させていないこと。
例えば、下の2つの試行を同時に行う。
- 裏表の出るコインを1枚投げる。
- サイコロを1個投げる。
コイントスの結果がどうであれ、サイコロの結果には一切影響しないよね！
コインで表が出たら、サイコロで偶数の目が出やすくなるとかあったら怪奇現象です(笑)
だから、
- 試行A: 裏表の出るコインを1枚投げる。
- 試行B: サイコロを1個投げる。
これらの試行A, Bは、「独立である」。
独立試行の確率は、こちらの記事で徹底解説しています！
- 排反＝事象が同時に起きないこと。
- 独立＝2つ以上の試行の確率が互いに影響しないこと。
「排反でない」とは？
トランプを使って説明してみた
トランプを1枚引くとき、以下の事象は排反か否かを答えよ。
- 事象A: エース(A)を引く。
- 事象B: ハートを引く。
2つの事象(結果)が、同時に起きるかどうかですね！
2つの事象A, Bの関係性が、
- 同時に起きない(AかBどちらか)＝排反
- 同時に起きる(AとB両方)＝排反でない
これらの事象A,Bは同時に起きる！
そうですよね！だって、ハートのエースってありますよね！
このカードを引けば、事象A:エースと事象B:ハートの条件を同時に満たせるよね！
よって、トランプを1枚引くとき、
- 事象A: エース(A)を引く。
- 事象B: ハートを引く。
これらの事象A, Bは、排反ではないとなります。
「排反＝同時に起きない」とは真逆ですね！
もう1つ別の例を見ていこう！
サイコロを1回投げて、
- 事象A: ６の目が出る
- 事象B: 偶数の目が出る
これらの事象も排反ではありません。
6の目が出たら、「事象A:6の目」と「事象B:偶数の目」の両方の条件を同時に満たせます！
2つの事象が同時に起きる(AとB両方)こと。
ベン図で見る排反事象
先ほどのサイコロの例をベン図を使ってみてみよう！
サイコロを1回投げて、
- 事象A: 偶数の目が出る
- 事象B: 奇数の目が出る
事象A,Bは、同時に起こらないので排反でした。
2つの事象が排反の時のベン図は、2つの円が独立していて重複がない。
つまり、2つの事象の円に共通項(重複の部分)がないので、事象A,Bは排反であるとベン図からも分かる！
逆に、排反でない場合のベン図って何が違うんですか？
事象A,Bの円に、共通項があって重複してるんだ！
6の目が、事象A,Bの両方の条件を満たしているから、共通項です。
排反な場合のベン図と違って、事象A,Bの両円が重なってますね！
ちなみに、ベン図の左端にある{1,3,5}の出目。これは、事象A, B両方に属さない余りで、余事象って言うんだ！
サイコロを1個投げて、
- 事象A: ６の目＝{6}
- 事象B: 偶数の目＝{2,4,6}
サイコロの目は、1~6の目まであります。
事象A, Bに属さない{1,3,5}＝余事象。
排反事象の確率: 計算方法
和事象の公式
2つの排反事象の確率は、
- P(A∪B)＝P(A)+P(B)
*$P(A)$＝事象Aの確率
*$P$＝Probability(確率)の略。
2つの事象が排反なときは、和事象の公式を使います。
つまり、2つの事象が同時に起こらないときは、確率は足し算で求めようってこと！
例えば、サイコロを1回投げて、
- 事象A: 2の目が出る＝{2}
- 事象B: 3以上の目が出る＝{3,4,5,6}
これらの事象A,Bは排反事象です。
- 事象A: 2の目＝{2}＝1通り
- 事象B: 3以上の目＝{3,4,5,6}＝4通り
全体の数サイコロ6つの目＝6通りより、
- $P(A)$＝$\frac{２の目の場合の数}{全体の場合の数}$＝$\frac{1}{6}$
- $P(B)$＝$\frac{3以上の目の場合の数}{全体の場合の数}$＝$\frac{4}{6}$
和事象の公式を使って、事象A,Bの確率は、
P(A)+P(B)＝$\frac{1}{6}$＋$\frac{4}{6}$＝$\frac{5}{6}$
- 2つの事象が排反の場合、確率は足し算!
なんで足すの？
- 排反事象と和事象の考え方が同じだから!
和事象の意味も、排反と同じく「2つの事象は同時に起こらない」なんです！
そのため、事象が排反な時は、和事象の足し算公式が使えます！
和事象については、こちらの記事で徹底解説しています。
実際の入試問題にチャレンジ！
排反を使ったサイコロの確率
サイコロ1個投げる時、奇数の目または４の目が出る確率を求めよ。
- 事象A: 奇数の目＝{1,3,5}
- 事象B: 4の目＝{4}
事象A,Bの中身に、共通項がないです！
「共通項がない＝同時に起こらない」なので、この事象A,Bは排反事象だ！和事象の公式が使える！
ベン図で見ても、事象A,Bの両円に、共通項がなく重なりがない！
- 全体の場合の数を求める。
- それぞれの事象の確率を求めて足し算！
ステップ1: 全体の場合の数
サイコロには、1~6のそれぞれの目があるので全部で6通り。
ステップ2: 事象の場合の数
事象A,Bの中身は、以下の通り。
- 事象A: 奇数の目＝{1,3,5}
- 事象B: 4の目＝{4}
それぞれの場合の数は、
- 事象A: 奇数の目＝{1,3,5}＝3通り
- 事象B: 4の目＝{4}＝1通り
事象A,Bが同時に起きない時、上のように事象A,Bの場合の数を分けて計算することを、場合分けと言います。
場合分けは、2つの事象が排反の場合におきます。そのため、場合分けをしたらその確率は必ず足し算と覚えよう！
確率＝$\frac{特定の事象の場合の数}{全体の場合の数}$なので、
- 事象Aの確率: P(A)＝$\frac{3}{6}$
- 事象Bの確率: P(B)＝$\frac{1}{6}$
事象A,Bは排反なので、和事象の公式を使います!
奇数の目または４の目が出る確率は、
P(A)+P(B)＝$\frac{3}{6}$＋$\frac{1}{6}$＝$\frac{4}{6}$＝$\frac{2}{3}$
（解答終了）
最後に：排反事象まとめ
いかがだったでしょうか？
本記事のまとめはこちらです！
- 排反とは: 2つの事象が同時に起こらないこと。
- 排反でない: 2つの事象が同時に起こること。
- 独立: 2つの試行の確率が互いに影響しないこと。
- ベン図で見る排反事象
- 排反: 事象A,Bの円に共通項がなく被りなし。
- 排反でない: 事象A,Bの円に共通項があって被りあり。
- 排反事象の確率: 和事象公式で足し算!
- 和事象公式: P(A∪B)=P(A)+P(B)
- 場合分けの確率計算は、足し算!
とてもわかりやすくて助かりました。ありがとうございます。
統計の勉強をしています。今回こそ排反の本質をつかめました。
他の記事も読んで勉強させていただきます。
コメントありがとうございます！お役に立てて何よりです。他記事も参考になれば幸いです。