確率「同様に確からしい」これだけ知っておけばいい２つのポイントとは？

こんにちは、受験数学のダイです。

教科書、参考書などで確率を勉強しようとした時一番最初に出てくるポイントが「同様に確からしい」です。

「同様に確からしい」ってなんか日本語もやたらと見慣れないし、なかなか1回ですっと理解できるのって難しくないですか？

用語の意味はなんとなく理解できるんだけど、いざ受験問題ってなるとどうしたらいいかわからない。

「同様に確からしい」って何をどこまで、知っておけばいいのかよくわからない。

このような悩みがあると思います。それもそのはずです。教科書などでは、やたらと難しい言葉で説明されています。さらに、事象、試行、根元事象など別の確率用語などと混ぜられて説明されている場合が多く、なかなか同様に確からしい自体を理解するのは難しいと思います。

そこで、本記事では同様に確からしいについて、

という点で紹介していきます！実は、同様に確からしいの考え方ってめっちゃシンプルで、押さえておくべくポイントって２つしかないんです！それは、

本サイトでは、この同様に確からしいの２つのポイントを身近な例や実際の入試典型問題を使って解説していますので、問題で同様に確からしいをどう攻略していくかが理解できるようになります！

同様に確からしいの一般的な定義

まず、「同様に確からしい」を勉強したときこんな説明文をよく見かけるよね。

ううん…. 試行…? 根元事象…? 難しい日本語がいっぱい（笑）

試行は、「２個のサイコロを同時に振る」みたいにある条件下で繰り返しできる実験や観察のことで、

根元事象は、その試行（＝実験）をして出た全部の結果のうち、その１つ１つの結果を個別にフォーカスしたもの。

もっと詳しく知りたい人はこっちでも確認してみてね！

「同様に確からしい」を理解するときは２つのポイントだけ押さえておけば大丈夫です。

それでは、それぞれを詳しく解説していきます！

同様に確からしいを典型問題で解説

ポイント１　それぞれの物事が起こる確率が等しい

基本的に、サイコロには１から６までの出目があるので、全体(すべての場合の数）としては６通りあるというのは場合の数でもお話しました。

そして、それぞれの出目（特定の物事が起こる場合の数）が出る通りは、

１の目が出る＝１通り

２の目が出る＝１通り

３の目が出る＝１通り

４の目が出る＝１通り

５の目が出る＝１通り

６の目が出る＝１通り　　　なので

確率は、

ここで注目すべきなのは、それぞれの出目が出る通り＝１通りとすべて同じで、

１〜６のどの目が出る可能性・頻度は$\frac{1}{6}$で等しくなっていることが分かります。

これを数学的にいうと、同様に確からしいと言うのです！

さらに身近な例で言うと、コイントスの表と裏が出る確率も同じ原理です。

上のコインには、表もしくは裏の全体で２通りしかないですよね。

それぞれの場合、つまり表が出る場合もしくは裏が出る場合は互いに１通りずつしかありません。

なので、表が出る場合と裏が出る場合の頻度は

全体（全事象）は、コインの表と裏の２通りに対して

それぞれの事象（根元事象）は、コインの表もしくは裏のそれぞれ１通りなので

確率＝$\frac{1}{2}$

になります。

これらの起こる確率は同等であると分かります。

これを数学的に言い換えると、

コインを投げるという事象において、

表が出る場合と裏が出る場合の確率は同じく$\frac{1}{2}$なので

同様に確からしい（＝）等確率と言えるのです。

確率においては、同様に確からしいというコンセプトがあるので、

私たちは確率を計算で求めることができます。

ポイント２　一見直感的には同じに見えるものでも、確率では区別する

「それぞれの物事が起こる確率が等しい」という原理に加えて

同様に確からしいにおける２つ目のポイント！それはズバリ…..

一見同じものに見えても、確率を考えるときは違うものとして区別せよ！

これは受験などでもすぐに使えるテクニックの１つなので、場合の数と確率の根本的な違いを理解するためにも最重要なので具体例を紹介しながら解説していくよ。

（１）は、場合の数に関する問題です。

つまり、袋から３個取り出すときの出る球の全てのパターンを数えます。

（赤玉の個数、白玉の個数）とすると、

（３、０）、（２、１）、（１、２）、（０、３）の４通り。

ここまでは、これまでやってきた場合の数の知識で問題なく解けるね。

しかし、ここでやっかいなのが確率です。

(2) 赤玉が２個で白玉が１個になる確率

例えば、（１）の場合の数で求めた全体４通りを使って、

赤玉２個で、白玉１個の通りは（２、１）の１通りしかないから、

確率＝$\frac{赤玉２個で、白玉１個}{全体の起こりうる場合の数}$＝$\frac{1}{4}$

楽勝〜！とした人はちょっと待って！！

これは、「同様に確からしい」のコンセプトが理解できてない人が陥りやすいもっとも典型的なパターンです。

それでは、ステップに分けてそれぞれ詳しくみていくよ！

ステップ１：同じものを区別する

つまり、この場合

同じものを１つ１つ区別する　＝　同じ赤玉全てを違うものとして区別する

同じものを１つ１つ区別する　＝　同じ白玉全てを違うものとして区別する

ここでは具体的に、赤玉、白玉１つ１つに番号を振って区別していこう！

今回は番号を振ることで、同じ赤玉同士でも白玉同士でも区別しましたが、アルファベット(a, b, c..)を使って区別してもオッケーです。

確率では、この「同様に確からしい」という考え方があるので、場合の数とは物の数え方が大きく異なってくるんです。

ステップ２：区別をしたものを元に、全事象の場合の数を求める

それでは、「同様に確からしい」のコンセプトに沿って、全ての球の取り出し方を考えてみよう。

袋には、全部で赤玉５個と３個の白玉が入っている。

よって、袋の中には合計で、８個の玉が入っていることが分かります。

全体の８個の玉から、３個を同時に取り出すので,

8C3 = $\frac{8 × 7 ×6 }{3 × 2}$＝５６通り

これで、全事象つまり今回の８個の玉のある袋から同時に玉を３個取るという試行をすると、

全体として５６パターンあることが分かります。

ステップ３：ある特定の事象の場合の数を求める

そして、次は全体５６通りの中でも

赤玉が２個で白玉が１個になる確率を求めていこう。

同時に３個の玉を取る試行で、取る玉の組み合わせが赤玉２個、白玉１個となる

つまり、

赤玉全体５個の中から２個取る組み合わせ

白玉全体３個の中から１個取る組み合わせを求めればいいんだ。

これを組み合わせを使うと、

赤玉全体５個の中から２個　＝　5C2

白玉全体３個の中から１個　＝　3C1

5C2 　×　3C1　＝　$\frac{5×4}{2}$ × $\frac{3}{1}$ = ３０通り

ステップ４：確率の公式に、それぞれのステップで求めた数値を代入

ステップ２で、全事象の場合の数は、５６通り

ステップ３で、赤玉２個、白玉１個となる場合の数は、３０通りと分かったので

これらを確率の公式に当てはめていきます。

確率＝$\frac{赤玉２個、白玉１個}{全体の場合の数}$＝$\frac{30}{56}$

        =$\frac{15}{28}$

「同様に確からしい」の考えがあるおかげで、たとえ同じものでも区別して考えて

確率計算ができるようになっているんだ。

よく「同様に確からしい」の典型問題で、大、小２つのサイコロを投げたらなんて問題もよくあるけど、あれは実は出題者から、２つのサイコロを別物と区別して考えてください！っていうメッセージなんだよね。

同様に確からくないってことになると、計算がかなり複雑になったり、イメージが湧きにくいからね。

身近にあるものも同様に確からしいで説明できる？

実は私たちは意識せずともこの「同様に確からしい」の考えを理解せずとも使っています。

例えば、あなたが嵐のファンで、嵐のコンサートチケットをどうしても購入したい。

（写真）

しかし、たとえファンクラブに入ったとしても、チケット数には限りがあって入手は困難。

抽選でくじをひきます。合計１０００本あるクジの中で当たりはたったの１０本だけ。

つまり、９９０本はハズレです。

この場合の確率は、$\frac{当たりの場合}{クジの全体数}$なので

確率＝$\frac{10}{1000}$=$\frac{1}{100}$とは簡単に分かると思います。

しかし、このクジを「当たり」「ハズレ」の２つの根元事象しかないから当たる確率、当たらない確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$はおかしいというのはなんとなく分かるんじゃないでしょうか？

当たりくじはたったの１０本しかないので、当たる確率もハズレの確率も同じというのは絶対におかしい。しかし、あなたは、なぜこの場合確率は$\frac{1}{2}$ではなく$\frac{1}{100}$になると説明できるでしょうか？

ここで、同様に確からしいのコンセプトが一役買います。

この場合、１０本の当たりクジ、９９０本のハズレクジのクジ１本１本を区別しているからです。

「当たり１」、「当たり２」、「当たり３」…… 「当たり１０」

「ハズレ１」、「ハズレ２」、「ハズレ３」……　「ハズレ９９０」

このクジでは、結果が「当たり」「ハズレ」どちらだったとしても、クジを１本引くということが同様に確からしいということになります。

同様に確からしくないって？

さて、ここまではずっと「同様に確からしい」についてのポイントやテクニックについて話してきたけど、今度はその逆「同様に確からしくない」について話していこう。

あー、それちょうど聞こうと思ってた。「同様に確からしい」＝等確率、同じものでも区別するってまあ分かったけど、「同様に確からしくない」とどうなるの？

じゃあ例えば、身近な例としてイメージしやすいのがくじ引きで考えてみよう。

たかし君は、プロ野球のドラフト会議を知ってるかな？

あ、なんか毎年各球団が欲しい選手をくじ引きで決めるっていうあれですか。野球選手も自分の人生がくじ引き１本で決まるだなんて気の毒〜だなと思っていつも見てます。

まあ、あれは公平性の上でのくじ引きだからね。笑

例えば、抽選箱にこんな３つのくじが入っていたらどう思う？

ええ、これはおかしいですよ！だって、大谷翔平が2枚も入っているじゃないですか…

そうなんだ。この抽選くじは完全にイカサマ。大谷翔平が藤浪晋太郎よりも引きやすいようにわざと作られているんだ。

全然平等じゃない….

そうその通りなんだ。それぞれの事象、つまり大谷翔平を引き当てる事象Aと藤浪晋太郎を引き当てるという事象Bの確率は同等じゃない。完全に大谷選手が当たりやすいようになっている！それぞれの事象の確率が平等じゃない。だから、「同様に確からしくない」となるんだ。

なるほど。今回みたいな「同様に確からしくない」場合でも計算できるんですか？

もちろん！さっき学んだ「同じものを違うものとして区別する」を使えば計算できるよ！参考にしてみてね。

Step1: 同じもの（大谷翔平）を区別する。

例えば、２つ名前のある大谷の内一人を大谷A、そしてもう一人を大谷Bのように区別してみよう。すると抽選箱には、１）大谷A、２）大谷B、 3) 藤浪の異なった三種類のくじが入っていることになる。

Step2: 全事象（全体）の場合の数と根元事象（それぞれの事象）を求める

先程のステップで、同じ名前のあった大谷翔平を２つに区別したので、

全事象は、大谷A、大谷Bそして藤浪の全部で３通り

ここで、区別せずに大谷と藤浪の2種類しか名前がないから、２通りとやると間違い！

確率計算の基本＝＞「同じものでも区別する」

Step3: 確率の公式に当てはめて計算する

大谷翔平を引く可能性 (全事象３通りのうち、大谷の名前が書かれたくじは２つ）

確率＝$\frac{2}{3}$

藤浪晋太郎を引く可能性（全事象３通りのうち、藤浪と書かれたくじは１つ）

確率＝$\frac{1}{3}$

これを分かりやすく数字にすると、

大谷を引く可能性（約６７％）　＞　藤浪を引く可能性（約３３％）

数学的に見ても完全に不平等くじになってますね。でも、投手と打者で二刀流の大谷選手なら２つくじを引かれても大丈夫ですよ！笑

いやいや、それは無理があるね。笑

例えば、大谷Aのカードを日本ハム、大谷Bのカードを巨人が引いたと仮定してごらん。あの二刀流の大谷選手でも体は１つしかないでしょ。一人の人間が２つの別チームに行って、同じ時間に存在することなんてできる？

それは確かに物理的に無理ですね。笑　これでは、日本ハムと巨人のどのチームが大谷選手を取るかで喧嘩しそうですね。

そう！だから、「同様に確からしくない確率」では例え計算はできたとしても物理的・論理的におかしくなってしまうんだ。

最後に：同様に確からしいまとめ

いかがでしたか？

今回は「同様に確からしい」とはというテーマでその２つの重要ポイントについて紹介しました。

同様に確からしいのの考えが確率にあるからこそ、場合の数と確率では事象の数の数え方に違いが出てきます。直感的には同じ事象だっとしても、問題を解く際には１つ１つ区別して解くことで確率は計算できるのです。

ぜひ参考にしてみてくださいね！