どうも！文系数学のダイです！
円順列の応用問題になるとすぐに解けなくなる…
円順列の応用問題のパターンや解き方を知りたい！
今日はこのような疑問にお答えしていきます！
円順列の応用問題はパターン化しています！
本記事で紹介するパターン別の解き方を押さえれば、応用問題でも簡単に解けるようになるよ！
目次
3分で分かる円順列の解き方
円順列の基礎が大丈夫な人は、こちらから円順列の応用問題に飛べるよ！
通常の順列は「横一列に並べる」並べ方でした。
しかし、円順列では円状に並べる並べ方を考えます。
円順列の解き方のポイントは2つあります！
- ある特定の一種類の並び方を固定
- 固定した以外のもので通常の順列P
１種類のものを固定する
例えば、社員3人(A, B, C)が円卓のテーブルに座って会議をします。
社員3人の座り方が何通りあるか考える時に、1人の社員(A)を固定して、時計回りに配列を考えるんだ！
固定した後は、固定した以外のものの並び方を考えます！
つまり、ここでは社員B, Cの2人の並び方です！
円順列では、回転して並び方が一致するものは同じものと考えます。
だから、同じものを数えないように1つを固定して、その残りの並べ方を考えるんだ！
確かに、下の円1をAを基準にして、右回転すると円2になりますね！
固定した以外社員A以外の順列なので、
- 3人の円順列 = 残り2人の並び方
＝(3−1)! = $2!$ = 2通り!
（解答終了）
- １種類のものを固定して、固定したもの以外の並べ方を考える！
- 回転して並び方が一致するものは同じと考える！
円順列はこちらの記事でさらに詳しく解説しています！
円順列の応用問題
入試で出る円順列の応用問題は、パターンが決まっています！パターン別に解き方を押さえておこう！
- 「隣り合う」円順列
- 「隣り合わない」円順列
- 「向かい合う」円順列
- 「図形の塗り分け」問題
隣り合う円順列の解き方
隣り合うもの同士を1つのグループにまとめよ！
実際に例題を通して解き方を確認してみよう！
7人が円卓のテーブルに座るとき、A, Bの2人が隣り合う並び方はいくつあるか。
✔︎ステップ1: 隣り合うもの同士を1つにまとめる
ここでは、A,Bが隣り合うもの同士なので丸でくくって1つにまとめました。
ABという1つのグループにまとめたので、全体の人数が7人から6人の円順列になるんだ！
なるほど！ABを1つのセットにしてしまえば、残りの5人の並び方に関わらずABは常に一緒ですね！
AB, C, D, E, F, Gの6人の並び方は、$(6−1)!$通り。
✔︎ステップ2: 隣り合うもの同士の並び方を考える
グループにまとめて計算した後は、グループ内の並び方も計算します！
A, Bは違う2人の人間なので、
ABとBAでは並び方が違うので区別します！
2人の並び方だから、2の階乗で$2!$ = 2通りだね！
最後に、上記の2つのステップでまとめた値を積の法則でまとめます！
A,Bが隣り合う＝6人の円順列×ABの並び方
$(6−1)!$×2 = $5!$×2
= 5×4×3×2×1×2 = 240通り!
(解答終了)
- 隣り合うもの同士を1つのグループにまとめて円順列!
- 隣り合うもの同士の並び方を計算！
隣り合わない円順列の解き方
- 隣り合ってもいいものから先に並べる
- 並べたものの隙間に隣り合わないものを入れる
7人が円卓のテーブルに座るとき、A, Bの2人が隣り合わない並び方はいくつあるか。
先ほどの問題とは違って、今度はABが隣り合ってはいけないんだ！
✔︎ステップ1: 隣り合ってもいいものを先に並べる！
A,B以外は、隣り合っても問題ないので、これらを先に並べます！
これら5つの円順列は公式$(n−1)!$より、$(5−1)!$通り。
✔︎ステップ2: 並べたものの隙間に隣り合わないものを入れる！
A,Bが隣り合わない条件を満たすには、C,D,E,F,Gの間にそれぞれA, Bを入れればAとBが隣り合うことはないよね！
隙間は全部で5個あります。
5個から順番よくA→Bと2つ並べるので${}_5 P_2$
最後に、上記の2つのステップでまとめた値を積の法則でまとめます！
A,Bが隣り合わない＝A,B以外の円順列×隙間に並べる方法
$(5−1)!$×${}_5 P_2$ = $4!$×5×4
= 4×3×2×1×5×4 = 480通り!
(解答終了)
- 隣り合ってもいいものを先に並べて円順列
- 先に並べ方ものの隙間に隣り合わないものを並べる
向かい合う円順列の解き方
向かい合うものを1つ先に並べて固定する！
6人が円卓のテーブルに座るとき、A, Bの2人が向かい合う並び方はいくつあるか。
A, Bが向かい合うので、先にA,Bのどちらかを並べて固定しよう！
✔︎ステップ1: 向かい合うものの1つを先に並べて固定
Aを先に並べて固定します。
AとBは必ず向かい合って並ぶので、Aを真上に固定するとBはその真下に並ぶことになります。
だから、Bの並び方は1通りしかありません。
✔︎ステップ2: 向かい合うもの以外で順列P
AとBを並べた後に、残りのC,D,E,Fの並び方を考えます！
全体で6人の円順列なので、残っている4席にC,D,E,Fの4人が並ぶことになります。
よって、並び方は$4!$通り。
- 向かい合うもののうち先に1つを固定
- 固定した以外の残りを順列
図形の色塗り問題の解き方
正四面体の4つの面を異なる4色全てを使って塗り分けるとき、その塗り方は何通りあるか。ただし、回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
図形の色の塗り方も、円順列の「固定」の考えを応用して簡単に解けるんだ！2つのステップで簡単に解いていこう！
- 底面の色を固定する
- 側面の色の塗り方は円順列！
①底面の色を固定する
まずは、ここで底面の色を決めて固定します！
②側面の色の塗り方は円順列で考える！
固定した以外の残り３面の側面の配色を考えていきます！
固定した底面を除いた側面の３面が円に乗っているイメージです。
「側面を回転して一致する色は同じとみなす」は、円順列の「回転して並べ方が一致するものは同じ」と同じです！
つまり、円順列の考え方と同じなのでこの問題は公式$(n−1)!$で解けます！
３色の円順列なので、
$(3−1)!$ = $2!$ = 2通り！
（解答終了）
入試頻出の「図形の塗り分け」はこちらの記事で徹底解説しています！
大学入試に出るその他順列６選
受験数学には、本テーマの他に6つの種類の順列があります。
順番を考慮して一列に並べるという点は共通していますが、それぞれ違った特徴・公式があります。
それぞれの関連記事も読んで受験に出る全ての順列を理解しよう！
✔︎大学入試必須の順列一覧
- 重複順列: 異なるものを繰り返し使って並べる順列。
- 同じものを含む順列: 同じものを並べる順列。
- 条件付き順列
問題文で与えられた条件に従って並べる順列
- 隣り合う・隣り合わない順列
ある特定の人や物を「隣り合う」「隣り合わない」の条件の下で並べる順列。
- 同じものを含む円順列
黒玉4個、赤玉2個などの同じものを複数円形に並べる順列。
- じゅず順列
円順列の内、反転して一致するもの。
条件のある円順列: 応用問題2選
難: 条件のある円順列
父、母の2人と子供6人が円形に座るとき、次の場合の数を求めよ。
- 8人が円形に座る並び方
- 両親が向かい合う並び方
- 両親が隣り合う並び方
- 両親が隣り合わない並び方
①6人が円形に座る並び方
通常の円順列なので、誰か1人を固定する公式$(n−1)!$で解こう！
8人の円順列なので、
$(8−1)!$＝ $7!$ = 7×6×5×4×3×2×1
= 5040通り!
(解答終了)
②両親が向かい合う並び方
- 向かい合うもののうち先に1つを固定
- 固定した以外の残りを順列
両親が向かい合うので、先に父を並べて固定しよう！
先に父を縁の真上に固定します。
父の位置を固定すると、両親が向かい合うので母の位置が自動的に決まりますね。
母の位置は必ず父の真下になるので1通りです。
母の並べ方は、1通りなので後の計算では省略します！
最後に、固定したもの以外の人、子供6人の並び方を求めます。
残っている6席に子供6人を並べるので$6!$通り。
$6!$＝6×5×4×3×2×1＝720通り！
(解答終了)
③両親が隣り合う並び方
隣り合う円順列は、隣り合うもの同士を1つのグループにしよう！
両親が2つで１セットになったので、
全体8人から7人の円順列に変わります！
よって、$(7−1)!$＝$6!$通り。
隣り合うもの同士の並べ方も忘れずに！
父、母2人の並べ方なので$2!$通り。
(父、母)、(母、父)の2通りですね！
最後に、求めた全ての値を積の法則で、
両親が隣り合う＝7人の円順列×両親の並べ方
＝$6!$×$2!$
= 6×5×4×3×2×1×2×1 = 1440通り!
(解答終了)
④両親が隣り合わない並び方
- 隣り合ってもいいものを先に並べて円順列
- 先に並べ方ものの隙間に隣り合わないものを並べる
まずは、隣り合っても問題ない子供6人を円卓に並べます。
子供6人の円順列なので、$(6−1)!$通り。
子供の次は、隣り合わない両親の並び方ですね！
隣り合ってOKな子供の隙間に父、母を順番よく入れれば両親が隣り合うことはありません。
6つの隙間に父,母の2人を並べるので${}_6 P_2$
最後に: 円順列の応用まとめ
いかがだったでしょうか？
本記事を読んだあなたは、円順列の応用: 同じものを含む円順列も読んで入試に出る円順列を全て押さえましょう！
本日のまとめは以下の通りです。
- 隣り合う円順列
隣り合うもの同士をグループ化！
- 隣り合わない円順列
隣り合わないものは隙間に入れる！
- 向かい合う円順列
向かい合うものを先に並べて固定！
「A,Bの2人が隣り合う」円順列ってどうやって解けばいいの？