こんにちは！文系受験数学のダイです！
塗り分け問題の解き方のコツを知りたい！
よし！じゃあ、この記事だけで「塗り分け問題」の全てを網羅しよう！
円/数珠順列の応用も「塗り分け問題」は、入試頻出の重要項目の1つです。
図形によって解き方が変わるため、パターン別の解き方を覚える必要があります。
本記事で推奨するそれぞれの図形にあった解き方を覚えよう！
目次
3分で分かる円順列の解き方
円順列の基礎が大丈夫な人は、こちらから塗り分け問題の解き方に飛べるよ。
異なるものを円形に並べる並べ方やその総数のこと。
円順列の公式: $(n−1)!$通り。
- 英語: circular permutation
- 読み方: サーキュラー・パーミュテーション
- ある特定の一種類の並び方を固定
- 固定した以外のもので通常の順列P
１種類のものを固定する
例えば、社員3人(A, B, C)が円卓のテーブルに座って会議をします。
社員3人の座り方が何通りあるか考える時に、1人の社員(A)を固定して、時計回りに配列を考えるんだ！
固定した後は、固定した以外のものの並び方を考えます！
つまり、ここでは社員B, Cの2人の並び方です！
円順列では、回転して並び方が一致するものは同じものと考えます。
だから、重複して数えないように、1つを固定して残りの並べ方を考えるんだ！
確かに、下の円1をAを基準にして、右回転すると円2になりますね！
固定した以外社員A以外の順列なので、
- 3人の円順列 = 残り2人の並び方
＝(3−1)! = $2!$ = 2通り!
（解答終了）
円順列はこちらの記事でさらに詳しく解説しています！
①正四面体の塗り分け
- 底面の色を1つに固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
正四面体の各面を異なる4色全てを使って塗り分けるとき、その塗り方は何通りあるか。ただし、回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
図形の色の塗り方も、円順列の「固定」の考えを応用して解けるんだ！底面の色→側面の色の順番で解こう！
ステップ1: 底面の色を固定する
正四面体は、下のように正三角形の4面で構成されています。
ここでは、底面の色を緑に固定します。
固定する色は緑の1通りです。
底面は4色から1つを選ぶ＝4通りとはできない！
1色(=1通り)に固定することで、残りの側面の配色に帰着するので重複せずに数えられる。円順列の固定と同じ考え！
正四面体は、全てが合同な正三角形から成っているので、底面は1色(=1通り)にしか固定できない！
ステップ2: 側面の色は円順列！
固定した底面以外の残り3つの側面の配色を考えていきます！
例えば、側面の各面をA,B,Cをします。
それぞれの面は、違う色を塗って区別します。
これは、1つを固定して異なるものを円形に並べる円順列と同じ考えなんだ！
上のように、側面の3面が円形に並ぶイメージです。
問題文では、「回転して一致する配色は同じ」とある。円順列$(n−1)!$を使えば、その条件を満たしながら塗り分けの総数が求められる！
底面以外の3色の円順列なので、
$(3−1)!$ = $2!$ = 2通り
（解答終了）
②正五角錐の塗り分け
- 底面の色を固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
正五角錐の各面を異なる６色全てを使って塗り分けるとき、何通りあるか。
ステップ1: 底面の色を固定！
底面の色は6色のうち1色を選ぶので、6通り。
ここでは、緑を固定します。
ステップ2: 側面の色は円順列！
側面は、残り5色全てを使って塗り分けます。
円順列を使って、$(5−1)!$＝$4!$＝24通り
求めた値を積の法則で、
正五角錐の塗り分けは、
＝底面の色の選び方×側面の円順列
＝6通り×24通り＝144通り
（解答終了）
③正三角柱の塗り分け
- 底面と上面の色を固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
正三角柱の各面を異なる5色全てを使って塗り分けるとき、何通りあるか。
ステップ1: 底/上面の色を固定！
まずは底面の色ですね！5色から1つを並ぶので、5通りですね！
底面の後は、上面の色だ！底面で使った緑以外の4色が使えるので、4通りだね！
- 底面の色＝5通り
- 上面の色＝4通り
ステップ2: 側面の色は円順列！
最後に、側面3つの配色を決めよう！
側面3つの塗り分けなので、
$(3−1)!$＝2!＝2通り
求めた値を積の法則で、
正三角柱の塗り分けの通りは、
＝上面の色×下面の色×側面の色
＝5通り×4通り×2通り＝40通り
……
とすると間違いです！
なぜなら、正三角柱の上面と底面の色が同色なので、立方体を裏返すと同じ配色になるからです。
「円順列を裏返して並び方が一致するものは同じ」は、数珠順列です！
そのため、円順列で求めた2通りを2で割ります!
正三角柱の塗り分けの通りは、
＝上面の色×下面の色×側面の数珠順列
＝5通り×4通り×$\frac{2通り}{2}$＝２0通り
（解答終了）
④立方体の塗り分け(6色)
- 底面の色を固定して、上面の色を決める。
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
立方体の6つの面を６色全てを使って塗り分けるとき、何通りあるか。
これも、円順列の「固定」の考え方が応用できます！
ステップ１: 底/上面の色を固定！
立方体の展開図ですね！
まずは、底面の色を１つ固定しよう！
すると、上面の色は、底面の色以外の5色が選べるので5通り！
ここでは、黄色を選択します。
ステップ2: 側面の色を円順列！
次は、側面の色です！
立方体では、側面は上面と底面を固定した円順列と考えるんだ！
上面と底面を固定すると、側面は回転することで全ての色を見ることができます。回転して色が決められるので、円順列です。
残っている4色$n$の円順列なので、
$(n−1)!$ = $(4−1)!$ = $3!$ = 6通り
求めた全ての値を積の法則で、
6面の色塗り＝ 上面の配色×側面の円順列
＝５×６＝30通り！
（解答終了）
⑤難: 立方体の塗り分け(5色)
上のような立方体の各面に異なる５色を使って塗り分ける方法はいくつあるか。ただし、隣り合う面の色は異なるものとする。また、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとする。
6面を５色で塗る場合は、数珠順列の考え方を使おう！その理由は後に解説するよ！
- 上面と底面の色を１色に固定!
- 側面の色は円順列!
ステップ1: 底/上面の色を固定！
問題文に「隣り合う面の色は異なる」という条件があるため。
6面を異なる5色で塗り分けるので、ある2面は色が被る。
でも、隣り合う面の色は異なるから、隣り合わない上面と底面を同じ色にする！
5色のうちから1つを並ぶので、5通り(${}_5 C_1$)。
ステップ2: 側面の色は円順列！
上面と底面を１色に固定したので、隣り合う側面を全て異なる４色で塗り分けられますね！
側面は、残った４色全てを使うので、
$(4−1)!$=3!=6通り
- 側面の1つの面の色を決めて固定。
- 次の面も同様に使った色以外を選んで固定。
面4→面3→面2→面1の順番で色を決定。
- 面4: 色を固定=1通り
- 面3: 上/底面, 面4以外の色＝3通り
- 面2: 上/底面, 面4,3以外の色＝2通り
- 面1: 残った色＝1通り
1通り×3通り×2通り×1通り=6通り
求めた値を積の法則で、
5色の塗り分けの方法は、
＝底面と上面の配色×側面の円順列
＝5通り×6通り＝30通り
……
とすると、間違いです！
なぜなら、上面と底面の色が同色なので、立方体を裏返すと同じ配色になるからです。
「円順列を裏返して並び方が一致するものは同じ」は、数珠順列です！
そのため、円順列で求めた6通りを2で割ります!
立方体の色の塗り方
＝上面/底面の塗り方×側面の数珠順列
＝5通り×$\frac{6}{2}$＝15通り
（解答終了）
最後に: 色塗り問題まとめ
いかがだったでしょうか？
円順列・数珠順列の応用問題の中には、同じものを含む円順列や数珠順列もあります。
こちらの記事で、入試問題の解き方を徹底解説しています！
本日のまとめはこちらです！
- 正四面体の解き方
- 底面の色を1つに固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
- 正五角錐の解き方
- 底面の色を固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
- 正三角柱の解き方
- 底面と上面の色を固定！
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
- 立方体(6色)の解き方
- 底面の色を固定して、上面の色を決める。
- 側面の塗り分けは円順列$(n−1)!$
- 立方体(5色)の色塗り問題
- 上面と底面の色を１色に固定!
- 側面の色は円順列!
色の塗り分け問題って、なんで円順列や数珠順列を使うの？