こんにちは！文系数学のダイです！
問題になると分からなくなる… 解き方のコツを知りたい！
受験数学では、どんな「隣り合う・隣り合わない順列」が出るのか知りたい！
今日はこのような疑問にお答えしていきます！
隣り合う・隣り合わない順列は、2つのポイントさえ知っていければ解けます！
- 隣り合う＝隣り合うものをグループ化!
- 隣り合わない＝隣り合うものを並べてその隙間に隣り合わないものを並べる。
ポイントを1つ1つ徹底的に噛み砕いていくよ！
目次
隣り合う・隣合わない順列とは
「隣り合う」「隣り合わない」という条件の下で並べる順列。
大学入試では主に以下のテーマが出題されます。
- ある特定の人(男女)
- ある特定のもの(文字や数字)
の隣り合う・隣り合わない並べ方を求めます。
記事後半で、全てのパターンの演習問題を解説しています！そのまま読み進めよう！
例えば、男子3人、女子3人の計6人の順列。
ある2人の男子、たかし君としょう君が隣り合う並べ方。
またこの2人が隣り合わない並べ方。
隣り合う・隣り合わない順列は、
順列$P$や階乗、組み合わせ$C$を使って解くのが一般的です。
しかし、並べ方を具体的にイメージして、公式が使える形に持っていくことが必要です!
今回は、公式を使える状態に持っていく2つの解き方のポイントを伝授します！
解き方の2つのポイント
- 隣り合う= 隣り合うもの同士を1つのグループにする！
- 隣り合わない順列は、
- 隣り合うものを先に並べて、
- その隙間に隣り合わないものを入れる！
それぞれ例題を通して詳しく見ていくよ！
隣り合うもの＝1つのグループに！
6人が一列に並ぶとき、AとBが隣り合う並べ方はいくつあるか。
ここでは、AとBが隣り合うからこの2つを1つのグループとみなそう！
隣り合う2つのものを1つとして数えて、その残りの数の順列を求める！
グループ化した後の全体数は5人！
この5人の並び方は、5人全員を並べるので$5!$
ABにグループ化しても並び方にはパターンがあります。
グループ化した2人の並べ方のパターンも忘れずに！
順列なので、順番が変われば状況が変わります！
ABとBAは全く違うものなので2通り！
最後に求めた値を積の法則でまとめて、
ABが隣り合う＝5人の並び方×グループ内の並べ替え
＝$5!$×2通り= 5×4×3×2×1×2×1 = 240通り!
(解答終了)
隣り合う＝残りの並べ方×グループ内の並べ方
- 隣り合うもの同士を1つのグループにまとめる！
- グループ化でまとめた1つと残り全ての並び方を計算。
グループ化したものの並べ替えの計算を忘れないようにしないと！
隣り合わないものは隙間に入れろ！
6人が一列に並ぶとき、A, B, Cが隣り合わない並べ方はいくつあるか。
隣り合わない場合は、隣り合っていいものを先に並べて、その隙間に隣り合わないものを並べよう！
✔︎ステップ1:隣り合うものを並べる
- 隣り合ってもOK = D, E, F
- 隣り合ったらダメ = A, B, C
順番によってDEF, FDEと状況が変わるから、並び替えにパターンも忘れずに計算！
D, E, Fの3つ全部の並び替えなので$3!$通り。
✔︎ステップ2:隙間に隣り合わないもの!
D,E,Fのそれぞれの隙間にA, B, Cが順序よく入れば、A,B,Cは絶対に隣り合うことはありません。
つまり、4つの隙間$n$のどれかに, A,B,Cの3つ$r$が順序よく入るので、${}_4 P_3$
求めた全ての値を積の法則で、
ABC隣りダメ＝DEFの並べ方×隙間の並び方
＝$3!$通り×${}_4 P_3$
＝3×2×1×4×3×2×1= 144通り！
(解答終了)
隣り合わない＝隣り合うものの並べ方×隙間へ入れる方法
- 先に隣り合ってもOKなものを並べて、並び方を計算
- 隣り合うものの隙間に隣り合わないものを並べて計算
大学入試に出るその他順列６選
受験数学には、条件付き順列の他に6つの種類の順列があります。
順番を考慮して一列に並べるという点は共通していますが、それぞれ違った特徴・公式があります。
それぞれの関連記事も読んで受験に出る全ての順列を理解しよう！
✔︎大学入試必須の順列一覧
- 重複順列: 異なるものを繰り返し使って並べる順列。
- 同じものを含む順列: 同じものを並べる順列。
- 条件付き順列
問題文で与えられた条件に従って並べる順列
- 円順列
異なるもの・人を円形に並べたもの。
- じゅず順列
円順列の内、反転して一致するもの。
- 条件付き・同じものを含むじゅず順列
記事を取得できませんでした。記事IDをご確認ください。
最後に、隣り合う・隣合わない順列の入試問題を解いてみよう！数学が苦手な人でも理解できるように噛み砕いて解説するよ！
隣り合う・合わない順列: 厳選問題4選
入試問題にチャレンジ！難易度順に問題が構成されているので、順番よく簡単な問題から解いていこう！
(レベル:易) 人の並べ方
A, B, C, D, E, Fの6人が一列に並ぶとき、次の並べ方はいくつあるか。
- AとDが隣り合う。
- AとDが両端にくる。
✔︎AとDが隣り合う
隣り合う＝隣り合うもの同士をグループ化ですね！
グループ化した後は、残り全員の並べ方を計算！
C-AD-E-B-FやF-C-E-AD-Bなどの様々な並べ替えが考えられますよね！
5人全員の並び方なので$5!$通り。
グループ内ADの並び方の計算も忘れずに！
A,Dの2つの並び方なので$2!$
求めた全ての値を積の法則でまとめて、
ADが隣り合う＝5人の並び方×ADの並び方
＝$5!$×$2!$ = 240通り！
（解答終了）
✔︎AとDが両端にくる
「両端にくる」のような条件がある場合は、
- 両端に固定してその並び方
- 両端以外(真ん中)の並び方
の2つの手順で解きましょう！
じゃあ、まずはAとDを両端に固定ですね！
次にAとDの並べ方も考えましょう！
AとD、2つものを並べるので$2!$=2通りです。
最後に、両端以外の並べ方を考えます。
両端AD以外の真ん中はB,C,E,Fの4つです。
4つの並び方なので$4!$=24通りです。
求めた全ての値を積の法則を使って、
両端AD= ADの並び方×真ん中の並び方
＝2通り×24通り＝48通り！
（解答終了）
「両端にくる」ような条件のある順列を条件付き順列と言います。
こちらの記事で詳しく解説しています！
(通常) 文字の並べ方
5つの文字A,B,C,D,Eを一列に並べるとき、
- A,C,Eの3つが隣り合う並べ方
- A, Bの2つが隣り合わない
隣り合う＝隣り合うもの同士をグループ化ですね！
①ACEの3つが隣り合う
グループ内ACEの並び方は、
3つ全部を並べるので$3!$=6通り！
後はグループを含めた全部で4つの並べ方と考えればいいので$4!$
求めた値を全てまとめます。
ACEが隣り合う＝ACEの並び方×4つの並び方
＝6通り×$4!$ = 144通り！
（解答終了）
②A,Bの2つが隣り合わない
先に隣り合ってもOKなものを並べてその隙間にA,Bを置くんですね！
隣り合っていいものは、AB以外です。
CDEの3つの並べ方＝$3!$通り。
最後に、並べたDEFの隙間にA,Bを順番よく並べる方法を考えます！
隙間4つ$n$のうち、2つ$r$にA→Bと並べるので${}_4 P_2$
求めた値全てを積の法則でまとめて、
AB隣り合わない＝DEFの並び方×隙間にAB
=$3!$通り×${}_4 P_2$= 72通り！
（解答終了）
(通常) 男女の並べ方
男子3人、女子3人が一列に並ぶとき、男女交互に並ぶ通りはいくつあるか。
男女が交互に並ぶ＝男子同士も女子同士も隣り合わないだね！
この問題は以下の２ステップで解きましょう！
- 先に男子を並べる
- 男子の隙間に女子を並べる
先に男子3人全員を並べるので$3!$。
男子の隣の合計4つの隙間$n$から3つ$r$選んで女子を3人並べるので${}_4 P_3$
求めた全ての値を積の法則でまとめて、
男女が交互＝男子の並べ方×隙間に女子
＝$3!$×${}_4 P_3$＝144通り！
(解答終了)
(難問) 男女の並べ方
男子4人、女子3人が一列に並ぶ時、次のような並び方の場合の数を求めよ。
- 7人が一列に並ぶ並び方
- 男子が隣り合わない並び方
- 女子が隣り合う並び方
- 特定の女子2人だけ隣り合う並び方
①7人が一列に並ぶ
全体7人$n$から7人$r$を選んで並べるので${}_7 P_7$=$7!$
${}_7 P_7$=$7!$=7×6×5×4×3×2×1=5040通り！
（解答終了）
②男子が隣り合わない
隣り合わないは、次の２ステップで解くんだ！
- 先に女子(隣り合いOK)を並べる
- 女子の隙間に男子を並べる
女子は3人なので並べ方は$3!$通り！
後は、女子の隙間に男子を入れれば
男子(も女子も)隣り合うことはありません！
4つの隙間$n$に4人の男子$r$を並べる＝${}_4 P_4$=$4!$
よって、
男子隣り合わない＝女子の並べ方×隙間に男子
＝$3!$通り×$4!$
＝3×2×1×4×3×2×1=144通り！
(解答終了)
③女子が隣り合う
隣り合う＝隣り合うもの同士をグループ化ですね！
- 女子3人を1つのグループにする
- グループ1つを含めた全員の並び方
グループ内の女子3人の並べ方は$3!$通り。
グループ化した女子は1つと数えるんでしたね！
よって、5人全員を一列に並べる通りは$5!$。
求めた値全てを積の法則で計算します！
女子が隣り合う＝女子の順列×5人全員の順列
＝$3!$×$5!$
＝3×2×1×5×4×3×2×1 = 720通り！
（解答終了）
④特定の女子2人だけが隣り合う
「特定の女子○人だけ」が隣り合う場合は、正面突破せずにこの最強公式を使おう！
女子2人だけが隣り合うは、
＝全体ー隣り合わないー女子が隣り合う
女子2人だけが隣り合うを普通に求めると、
女子は3人(仮にA,B,C)いるので,
- AB
- AC
- BA
- BC
- CA
- CB
これら全てのパターンを考えることになります。
絶対に嫌です！！笑
だよね(笑) だから、計算量を減らすために余事象を使うんだ！
①で求めたように
- 全体: 7人が一列に並ぶ＝5040通り
③で求めたように
- 女子隣り合う＝720通り
②で求めたように
- 女子・男子隣り合わない＝144通り
よって、
全体ー女子が隣り合うー隣り合わない
＝5040−720−144 = 4176通り！
（解答終了）
最後に: 隣り合う・合わないまとめ
いかがだったでしょうか。
本記事と合わせて、受験数学に出る他の順列６選も押さえよう！
また、順列の計算で使う
の計算のコツもそれぞれの記事から合わせて確認しよう！
本日のまとめは以下の通りです！
- 隣り合う順列
隣り合うものをグループ化！
- 隣り合わない順列
- 先に隣り合っていいものを並べて
- その隙間に隣り合わないものを並べる。
- 「特定の女子２人だけ」が隣り合う
公式: 余事象の応用を使おう！
全体ー隣り合わないー女子3人が隣り合う
本日もお疲れ様でした！
隣り合う・隣り合わない順列って何？