どうも！文系受験数学ラボのダイです！
向かう合う数珠順列の問題の解き方のコツを知りたい！
今日はこのような疑問にお答えしていきます！
数珠順列の応用問題って難しいですよね。
しかし、隣り合う・隣り合わない数珠順列は完全にパターン化しています。
本記事で紹介するパターン別の解き方を覚えれば簡単に解けるようになるよ！
応用問題でよく出る「向かい合う数珠順列」の解き方も紹介しています！
目次
数珠順列の応用問題: パターン別の解法
そもそも数珠順列とは？
円形に並べた円順列のうち、裏返して並び方が一致するものを同じと考える順列。
公式: $\frac{円順列(n−1)!}{2}$
- 英語: necklace permutation
- 意味: ネックレスの順列
- 読み方: ネックレス パーミュテーション
数珠順列のポイントは、円順列とは違う物事の数え方です。
- 数珠順列: 円を反転して並び方が一致するものは2つで1セット。
- 円順列: 円を反転して並び方が一致しても違うもの。
例えば、3つの玉A,B,Cでブレスレットを作る作り方の総数。
ブレスレットの円順列は2通り。でも、数珠順列は1通りだけ！
しかし、数珠順列では上の2つの円は同じものと考えます！
上の2つの円は、裏返すと並び方が一致するからね！
円1(B<A>C)を裏返すと、円2(C<A>B)の並び方になります！だから、数珠順列は1通り!
３つの玉を円状に並べる順列では、
- 円順列: B<A>CとC<A>Bは全く違う!
- 数珠順列: B<A>CとC<A>Bは、反転すると一致するので同じ！
さらに詳しい数珠順列の公式の証明や解き方はこちらから！
隣り合う数珠順列の解き方
隣り合う数珠順列の出題パターンは決まっています！本記事で推奨する解き方を覚えれば簡単に解けるよ！
- 隣り合うもの同士を1つのグループとして数える。
- グループ内の並べ替えを計算。
簡単な例題を使って解き方を見ていこう！
異なる6色の玉で首飾りを作る時、赤玉と青玉が隣り合う場合の数を求めよ。
「首飾り」と数珠順列のキーワードがあるので、数珠順列としてこの問題は解けますね！
数珠順列のその他のキーワードや見分け方はこちらから！
隣り合うは、隣り合うもの同士を1つのグループにまとめよう！
赤玉ー青玉を2つで1つのセットと見ると、全体数が1つ減って5つの玉の数珠順列になります！
赤玉ー青玉が１つのグループとして並べれば、どの場所に並べても常に赤と青は隣り合いますね！
- 数珠順列の公式: $\frac{円順列(n−1)!}{2}$
５つの玉の数珠順列＝$\frac{(5−1)!}{2}$＝$\frac{4!}{2}$
次に、グループ内の赤玉と青玉の並び方を考えます。赤ー青、青ー赤では、順番が変われば意味が変わってきます。
赤と青玉2つの並び方なので、2!=2通りだね！
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
赤玉と青玉が隣り合う数珠順列
＝5つの玉の数珠順列×グループ内の並べ方
＝$\frac{4!}{2}$×2通り＝$\frac{4×3×2×1}{2}$×2通り
＝24通り
(解答終了)
こちらの記事でも隣り合う・隣り合わない順列の解き方を解説しています！
隣り合わない数珠順列の解き方
- 先に隣りあってもいいものを円形に並べる。
- 先に並べ方ものの隙間に隣り合わないものを並べる。
異なる6色の玉で首飾りを作る時、赤玉と青玉が隣り合わない場合の数を求めよ。
今度は赤玉と青玉が隣り合わない数珠順列だ…. (泣)
これも出題パターンが決まってるから大丈夫! まずは、先に隣り合ってOKな玉を並べよう！
赤玉と青玉が隣り合ってはいけないので、それ以外の緑、黒、桃、紫の玉ですね！
ここでは、先に隣り合っても大丈夫な4つの玉を並べます。
数珠順列なので、円順列を2で割ることを忘れずに！
ここでは、先に並べた4つの玉の隙間に隣り合わない赤玉と青玉の置き方を考えます。
なるほど！隙間に赤玉と青玉をそれぞれ置けば、どの隙間でも赤と青は隣り合いませんね！
全部で4つある隙間に、2つの玉を順番を考慮して置くので${}_4 P_2$
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
赤玉と青玉が隣り合わない数珠順列
＝4つの玉の数珠順列×隙間に赤,青玉を並べる
＝$\frac{3!}{2}$×${}_4 P_2$＝$\frac{3×2×1}{2}$×4×3
＝36通り
(解答終了)
向かい合う数珠順列の解き方
向かい合う数珠順列も入試では頻出です! しかし、これもパターンは決まっています！
- 向かい合うもの同士を先に並べて固定!
- 空いている場所に残りの玉を並べる。
これも例題を使って見ていこう！
異なる6色の玉で首飾りを作る時、赤玉と青玉が向かい合う場合の数を求めよ。
まず、向かい合う赤玉と青玉を先に並べて固定しよう！
ここでは、先に赤玉を真上に固定します。
すると、青玉は赤玉と向かい合うように並べるので、青玉は赤玉の真下に置きます。
よって、青玉の並び方は1通りだけです。
先に青玉を並べて固定しても同じです！
向かい合う玉同士を並べたら、残った4つの玉を並べよう！
4つの空いている場所に4つの玉全てを並べるので、階乗を使って4!通り。
数珠順列なので、2で割って$\frac{4!}{2}$通りだね！
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
赤玉と青玉が向かい合う数珠順列
＝向かい合う玉の並べ方×4つの玉を空席に並べる
＝1通り×$\frac{4!}{2}$＝$\frac{4×3×2×1}{2}$
＝12通り
(解答終了)
大学入試に出るその他順列６選
それぞれの関連記事を読んで、受験に出る全ての順列を理解しよう！
✔︎大学入試必須の順列一覧
- 重複順列: 異なるものを繰り返し使って並べる順列。
- 同じものを含む順列: 同じものを並べる順列。
- 条件付き順列
問題文で与えられた条件に従って並べる順列
- 隣り合う・隣り合わない順列
ある特定の人や物を「隣り合う」「隣り合わない」の条件の下で並べる順列。
- 円順列
異なる人やものを円形に並べる並べ方。
- じゅず順列
円順列の内、反転して一致するもの。
数珠順列の応用問題にチャレンジ！
隣り合う・隣り合わない数珠順列
異なる8色の玉にひもを通してネックレスを作る時、次の場合の数を求めよ。
- 青玉、赤玉、桃玉の3つが隣り合う
- 黒玉、赤玉、緑玉が隣り合わない
①青玉、赤玉、桃玉の3つが隣り合う
- 隣り合うもの同士を1つのグループとして数える。
- グループ内の並べ替えを計算。
隣り合う青緑桃の3つの玉を1つにまとめると、全体8つの玉から6つの数珠順列になりますね！
- 数珠順列の公式: $\frac{(n−1)!}{2}$
6つの数珠順列＝$\frac{(6−1)!}{2}$＝$\frac{5!}{2}$
青赤桃の3つの玉の並べ方を計算します。
(青, 赤, 桃)、(赤, 桃, 青)、(桃, 赤, 青)….
グループの中でも、並ぶ順番が変わることで意味が変わるよ！
青赤桃の3つの玉全ての並べ方なので、$3!$通り
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
青赤桃の3つの玉が隣り合う数珠順列
＝6つの玉の数珠順列×青赤桃の並べ替え
＝$\frac{5!}{2}$×3!＝$\frac{5×4×3×2×1}{2}$×3×2
＝360通り
(解答終了)
②黒玉、赤玉、緑玉が隣り合わない
- 先に隣りあってもいいものを円形に並べる。
- 先に並べ方ものの隙間に隣り合わないものを並べる。
隣り合ってもいい玉は、青色, 茶色, 桃色, 水色, 紫色の5つの玉ですね！
先に並べた5つの玉の円順列は、
$\frac{(5−1)!}{2}$＝$\frac{4!}{2}$通りです。
先に並べた5つの玉の隙間に、黒,赤,緑の3つの玉を1つずつ並べる！
そうすれば、この3つの玉は絶対に隣り合うことはないですね！
5つの隙間に3つの玉を並べるので、${}_5 P_3$
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
黒赤緑の3つの玉が隣り合わない数珠順列
＝5つの玉の数珠順列×5つの隙間に黒赤緑
＝$\frac{4!}{2}$×${}_5 P_3$＝$\frac{4×3×2×1}{2}$×5×4×3
＝720通り
(解答終了)
向かい合う数珠順列
上のような異なる8色の玉にひもを通してネックレスを作る時、黒玉と桃玉が向かう合う作り方はいくつあるか。
- 向かい合うもの同士を先に並べて固定!
- 空いている場所に残りの玉を並べる。
ここでは、先に黒玉を1番上に固定します。
桃玉は、黒玉と向かう合うように並べるので、必ず黒玉の真下に並べます。そのため、桃玉の並べ方は1通りしかありません。
向かい合う玉を固定できたら、次は残った玉を並べよう！
残った6つの玉全てを並べるので、6!通り。
数珠順列なので、これを2で割ると$\frac{6!}{2}$通りですね！
最後に、求めた全ての値を積の法則でまとめます。
黒玉と桃玉が向かい合う数珠順列
＝黒玉と桃玉の並べ方×6つの玉を空席に置く
＝1×$\frac{6!}{2}$＝$\frac{6×5×4×3×2×1}{2}$
＝360通り
(解答終了)
最後: 隣り合う・合わない数珠順列のまとめ
いかがだったでしょうか？
隣り合う・合わない数珠順列が理解できたら、次はさらに難問の同じものを含む数珠順列にもチャレンジしよう！
また、こちらの記事では入試や定期試験に出る全ての順列を解説しています！
本日のまとめはこちらになります。
- 数珠順列: 円順列の内、反転して並び方が一致するもの。
- 隣り合う数珠順列:
①隣り合うもの同士を1つのグループに!
②グループ内の並び方を計算!
- 隣り合わない数珠順列:
①隣り合ってもOKなものを先に並べる!
②隙間に隣り合わないものを並べる!
- 向かい合う数珠順列:
①向かい合うものを先に固定!
②空いている場所に残りを並べる!
隣り合う・隣り合わない数珠順列ってどうやって解くの？